•  

    Une de mes passions: 

    les minéraux



    Aussi loin que je me souvienne, je vois le monde autour de moi, dans le petit village de mon enfance, à Jumilhac le grand, comme le monde de la nature. 


     

    Je me suis bien remis d'un AVC il y a deux ans, en 2009, mais ma vie en a été complètement bouleversée. Les cardiologues pensent que mon cerveau s'est en partie reconstruit, car je n'ai que des séquelles apparemment mineures. Je me suis découvert un goût pour la peinture que je ne me connaissais pas. Je pense que c'est un "éveil" du cerveau droit, plus porté sur l'art. Auparavant, le cerveau gauche était sans doute dominant par sa logique, le logos, le calcul et tout ce qui fait la science. Cette découverte de l'art me rassure, j'ai peut-être un meilleur équilibre entre l'intuition, la partie féminine de l'être et le raisonnement, le calcul, le formalisme de la raison logique. 

     

    Quand j'y repense, je crois que j'avais déjà ce goût dans mon enfance. J'avais reçu en cadeau d'anniversaire le livre "les merveilles de la nature", livre magnifique s'il en est. Je l'ai gardé toute ma vie. C'est là que j'ai eu une fascination pour ces merveilles qui constituent l'essence et le titre de mon blog. Je ne me lassais pas des images des minéraux, d'astronomie, comme celle d'une éclipse de soleil, de paléontologie avec les dinosaures, de plantes, d'animaux... 

     

     

     

    J' y ai appris les notions qui m'ont permis d'approcher la science. Je dessinais et coloriais ces images, je faisais des "cartes postales de paysages de neige"... J'ai conservé le goût de la science, mais, avec l'âge, j'étais insatisfait par les dessins. Je croyais ne pas être "à la hauteur" et je m'en suis lassé, jusqu'à... mon AVC.

     

     

     Et là, dans ce petit village, je regardais les saisons, les nuages, l'Isle et ses rives, les oiseaux, en bref, la nature. Au printemps: les fleurs. En été: la moisson avec les premières batteuses des années 1950 et les orages. En automne: les tapis de feuilles mortes. En hiver: la neige et les dessins de cartes postales...


    Tout comme Saint-Yrieix la Perche à 12 kilomètres, le Château de Jumilhac formait, aux marches du Limousin et du Périgord, une ligne de défense lors des incursions sarrasines, wisigothes, normandes et anglaises (1190), sans oublier la Guerre de Cent Ans. Maintes fois reconstruit et agrandi, il fut remanié à la Renaissance et couvert (1600) de ces toitures qui font aujourd'hui sa réputation. Ces cônes, poivrières et pyramides, ornés de faîtières aux allégories seigneuriales et alchimiques, sont uniques en France et font de Jumilhac la "Perle Noire" du Haut Périgord. 


     

    Il m'en est resté ma passion pour la recherche de minéraux, que j'ai pu satisfaire dans les Alpes en particulier dans les mines de l'Oisans au cours de mon séjour de plusieurs années dans cette région.




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  • La science nous permettra-t-elle un jour de tout savoir? Ne rêve-t-elle pas d'une formule qui explique tout? N'y aurait-il rien qui entrave sa marche triomphale? Le monde deviendra-t-il transparent à l'intelligence humaine? Tout mystère pourra-il être à jamais dissipé?


    Hervé Zwirn pense qu'il n'en n'est rien. La science, en même temps qu'elle progresse à pas de géant marque elle même ses limites. C'est ce que montre la découverte des propositions indécidables qui ont suivi le théorème de Gödel. Ou celle des propriétés surprenantes du chaos déterministe. Ou encore les paradoxes de la théorie quantique qui ont opposé Einstein et Bohr  en mettant en cause toute notre manière de penser.

    L'analyse de ces limites que la science découvre à sa propre connaissance conduit à poser une question plus profonde: qu'est ce que le réel?

    (Je voudrais ici faire partager ma lecture de Hervé Zwirn).


     

    Exergue:

    "Comme Popper l'a remarqué, nos théories sont des filets que nous construisons pour attraper le monde. Nous ferions mieux de d'accepter le fait que la mécanique quantique a fait surgir un poisson plutôt étrange."      Redhead (1987).

     


    1) Rappel sur les notions de physique quantique: voir les articles précédents.

     

     Dès qu'on s'intéresse aux objets dont la dimension est de l'ordre des dimensions atomiques (typiquement 10-10 m), la mécanique classique doit être remplacée par la mécanique quantique. Son efficacité est remarquable pour décrire le comportement des phénomènes subatomiques (électrons, protons, neutrons...). Elle explique la couleur des corps, le fonctionnement des semi-conducteurs, les propriétés des métaux, les niveaux d'énergie des atomes, la superfluidité...Aucun phénomène physique n'a nécessité sa révision. Mais c'est une théorie étrange qui a soulevé de nombreuses questions d'interprétation qui ne sont pas toutes entièrement résolues, malgré les progrès de ces dernières années. Elle nous force à reconsidérer entièrement beaucoup d'idées intuitives que nous avons sur les propriétés des objets, sur les rapports entre l'observateur et le phénomène observé, sur le déterminisme et elle nous conduit à modifier radicalement la conception du monde qu'on pourrait légitimement construire à partir de la mécanique classique. 

    Quels que soient les problèmes soulevés, il s'agit toujours de problèmes d'interprétation du formalisme et jamais de problèmes d'application. Elle fonctionne remarquablement bien et c'est une des théories les plus précises qui ait été jamais été construites. L'interprétation du formalisme a conduit à des conséquences philosophiques qui semblaient contraires au bon sens ou à l'intuition. Bien que les débats ne soient pas tous clos, on peut considérer aujourd'hui que nous comprenons mieux ce qui est compréhensible en elle, et avons appris à ne pas chercher à comprendre (au sens de ramener à une image familière) ce qui ne l'est pas. 


    Il est possible de penser qu'une expérience future produira une réfutation d'une de ses prédictions et nécessitera une nouvelle théorie, mais il semble exclu aujourd'hui que cela aboutisse à un retour en arrière vers une physique retrouvant les caractéristique de la physique classique. Les théories en cours de développement visant à décrire le monde à des échelles de plus en plus petites et qui tentent d'unifier les 4 interactions fondamentales conduisent à des remises en cause encore plus radicales des concepts classiques. La théorie des supercordes pose des problèmes encore plus redoutables que ceux de la mécanique quantique pour l'interprétation des objets mathématiques qu'elle utilise. Les conséquences philosophiques de ces nouvelles théories ne seront pas envisagées car elles sont en cours de constitution.  

    Certaines conclusions de la physique quantique comme la non-séparabilité semblent définitivement établies. L'indéterminisme l'est moins nettement. 


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  • La grande hypothèse.

     

    La Bible est présente  en permanence parmi les grands mythes de l'humanité, mais le mythe de l'Atlantide représente beaucoup pour moi.

    Je l'ai découvert en lisant les livres d'Albert Slosman, la grande hypothèse, le trilogie des origines (le grand cataclysme - les survivants de l'Atlantide - ...et Dieu ressuscita à Dendhéra), la vie extraordinaire de Pythagore, Moîse l'Egyptien. Dix livres étaient prévus après Moîse, mais cette série a été interrompue par la mort de Slosman en 1981. Le dernier livre que Slosman avait prévu devait s'intituler l'Eternité n'appartient qu'à Dieu.

     Dans les autres publications, on trouve l'astronomie selon les Egyptiens, le livre de l'au-delà de la vie et le zodiaque de Dendhéra.

     

    Les ouvrages d'Albert Slosman  sont la base de ma réflexion, mais j'ai découvert les écrits  d'Anton Parks.  qui parlent de ce même mythe.

    Pour l'ensemble des articles, je renvoie à mon blog: http://monblogdereflexions.blogspot.com/ (libellé "la grande hypothèse")

    ou http://lesmesrveillesdelaconnaissance (catégorie "la grande hypothèse").

     

     

     

     

     

     

     

     

    LA GRANDE HYPOTHESE et les survivants de l'Atlantide.

     

     

     

    Ma lecture de "La grande hypothèse" va porter surtout sur le grand cataclysme qui est sans doute une autre façon de voir le Déluge de la Bible. Je crois que tous les grands mythes de l'humanité parlent de ce qui a dû être une catastrophe naturelle que la terre aurait subi il y a 14 000 ans selon Slosman. Les Trois grandes pyramides d'Egypte et le Sphinx seraient selon lui un témoignage des survivants de cet événement à l'adresse des générations futures et un avertissement qui a un écho particulier aujourd'hui où on parle de plus en plus de fin du monde . L'émission de la chaîne 4 (apocalypse en 2012) est significative à cet égard.

     

    De "la grande hypothèse", le Figaro écrivait alors: la "construction qui s'accomplît devant nous est peut être un des évènements de notre temps". Et Slosman le définissait ainsi: "c'était en définitive une histoire du monothéisme des origines à la fin du monde que j'étais en train d'écrire, en voulant démontrer que le Dieu des chrétiens était le même que le Créateur originel. L'éternel était Yahvé, mais aussi Ptah. Dieu était celui de Jésus, de Moîse, d'Abraham mais aussi d'Osiris. Et ce Dieu Un avait déjà été l'unique créateur de la Création, celui qui inspira la Loi à ses créatures! A chaque ère céleste correspondait un Fils de Dieu, un Messie".

     

     

     

    "C'est une Histoire du monothéisme des origines à la fin du monde que j'étais en train d'écrire, en voulant démontrer que le Dieu des chrétiens était le même que le Créateur originel. L'Eternel était Yahvé mais aussi Ptah. Dieu était celui de Jésus, de Moîse, d'Abraham, mais aussi d'Osiris. Et ce Dieu Un avait déjà été l'unique Créateur de la Création, celui qui inspira la Loi à ses créatures. A chaque être céleste correspondait un Fils de Dieu, un Messie".    Albert Slosman


     

    Cette oeuvre d'Albert Slosman aurait dû être, sous la dénomination générique "L'éternité n'appartient qu'à Dieu".

     A) LA TRILOGIE DES ORIGINES.

         1) Le Grand Cataclysme (paru en 1976).

         2) Les survivants de l'Atlantide (paru en 1978).

         3) Et Dieu ressuscita à Dendérah (paru en  1980).

     B) LA TRILOGIE DU PASSE.

         1) Moîse l'Egyptien (paru en 1981).

         2) Akhenaton, le Divin mortel (non paru).

         3) Et Dieu oublia l'Egypte (non paru).

     C) LA TRILOGIE DU FUTUR.

    1) Jésus le Christ (non paru).

    2) L'Apocalypse de la 8ème vision (non paru).

    3) L'éternité n'appartient qu'à Dieu (non paru).

     D) LA TETRALOGIE DU SAVOIR.

         1) l'Astronomie selon les Egyptiens (non paru).

         2) Les Mathématiques selon les Egyptiens (non paru).

         3) La Médecine selon les Egyptiens (non paru).

         4) L'Evangile selon les Egyptiens (non paru).

     



     

    Sommaire de mes articles à lire dans les articles avec le libellé :"la grande hypothèse".

              1)   Le hasard existe t-il?

              2)   Le destin s'écrit-il aussi?

              3)   Le grand cataclysme.

              4)   L'âme Atlante n'est pas perdue.

              5)   Les rescapés de l'Ahâ Men Ptah.

              6)   La résurrection de Ptah à Dendérah.

              7)   A la découverte du grand labyrinthe, le Cercle d'Or.

              8)   A la découverte de Dendérah, l'ère du Taureau

              9)   L'ère du Bélier: Moïse le rebelle et Dieu oublia l'Egypte (Cambyse le fou).

              10) L'ère des Poissons: Jésus le Christ.

              11) L'éternité n'appartient qu'à Dieu - Pour notre temps.

     

     


    Ici je présente un bref résumé des articles pour permettre une vision un peu globale.


    LA GRANDE HYPOTHESE 1): "Le hasard existe-t-il?"


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  • Les limites de la connaissance1) présentation


    Cette présentation est une introduction à mes articles dans la rubrique "les limites de la connaissance".

    La pensée.

     

    Les limites de la connaissance.


    Depuis toujours je suis émerveillé par la nature et ses mystères, avec laquelle je me suis éveillé par les images qui me restent encore du village de mon enfance et de son château (à voir dans l'article "Ma peinture huile: le village de mon enfance: Jumilhac le Grand en Périgord" -libellé peinture et fantastique). 


    La science nous permettra-t-elle un jour de tout savoir? Ne rêve-t-elle pas d'une formule qui explique tout? N'y aurait-il rien qui entrave sa marche triomphale? Le monde deviendra-t-il transparent à l'intelligence humaine? Tout mystère pourra-il être à jamais dissipé?


    Hervé Zwirn pense qu'il n'en n'est rien.La science, en même temps qu'elle progresse à pas de géant marque elle même ses limites. C'est ce que montre la découverte des propositions indécidables qui ont suivi le théorème de Gôdel. Ou celle des propriétés surprenantes du chaos déterministe. Ou encore les paradoxes de la théorie quantique qui ont opposé Einstein et Bohr  en mettant en cause toute notre manière de penser.

    L'analyse de ces limites que la science découvre à sa propre connaissance conduit à poser une question plus profonde: qu'est ce que le réel?


    Je commence ici une série d'articles que j'intitule "les limites de la connaissance", où j'exprime mon questionnement et mes réflexions en partant de l'analyse qu'en  fait Hervé Zwirn. Ceci est le premier article.


     

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  • La spiritualité et le travail sur soi sont une de mes préoccupationsJe présente ici ma lecture du "Baiser de Dieu" inspiré du livre de Annick de Souzenelle.

     

    Cette page est développée dans mes articles  sous le libellé: le baiser de dieu.

    Voir aussi tous les articles libellé: conscience et spiritualité.
     



    Synthèse de ma lecture: "Le baiser de Dieu."

     

     

    I) Présentation.


      Blogs:   Matière=Energie=Information.     Annick de Souzenelle     

     

     

     Au long de décennies passées à interroger le texte biblique et les mystères de sa langue, Annick de Souzenelle a construit une lecture originale et vivante de la tradition hébraïque.

     

     

    arbre de la connaisssance

     

     

     

     

     

     

     

    Tout se fonde, dans le travail d'Annick de Souzenelle, sur une lecture pas à pas du texte hébraïque de la Genèse, à travers ses non-dits, ses allusions que seul peut comprendre celui ou celle qui a répudié les promesses illusoires de la traduction : les deux tomes volumineux d'Alliance de feu, réédités récemment, sont le fruit de ce patient cheminement

     


     Ici, je reproduis un texte de Annick de Souzenelle où elle s'exprime sur son livre.



     

    Le souffle de l'hébreu

     


    Au long de décennies passées à interroger le texte biblique et les mystères de sa langue, Annick de Souzenelle a construit une lecture originale et vivante de la tradition hébraïque.

     

     

     

    Tout se fonde, dans le travail d'Annick de Souzenelle, sur une lecture pas à pas du texte hébraïque de la Genèse, à travers ses non-dits, ses allusions que seul peut comprendre celui ou celle qui a répudié les promesses illusoires de la traduction : les deux tomes volumineux d'Alliance de feu, réédités récemment, sont le fruit de ce patient cheminement.

     

     

     

    Partant d'une intuition profonde de la spiritualité chrétienne originelle, Annick de Souzenelle dégage ce patrimoine universel de sa gangue moralisatrice pour en restituer la vitalité enthousiasmante.

    Mettant à portée de tout un chacun la richesse infinie du texte sacré, elle nous donne ainsi à contempler l'amour divin derrière ces mots qu'un « exil existentiel » nous fait parfois lire comme terribles.

     

    Cette démarche, ces « trouvailles » ont réconcilié un large public avec la fréquentation du patrimoine biblique qui, qu'on le veuille ou non, demeure l'un des piliers de la civilisation occidentale : elle en a également débattu passionnément avec Frédéric Lenoir dans L'Alliance oubliée

     

    De la matière de ses commentaires, elle extrait aujourd'hui la quintessence du « message» qu'elle décline selon des thématiques intemporelles : l'exil de Dieu, la liberté, la connaissance, le désir, le mal et la mort, et la renaissance.

     

    Présentation par Annick de Souzenelle.


     

     

     

    AUTANT DE SUJETS QUI SONT AU CŒUR DE TOUT SAVOIR SPIRITUEL AUTHENTIQUE.

     


     

    « Le baiser de Dieu : Ou l'Alliance retrouvée » sera considéré par certains comme un ouvrage de maturité, où les intuitions essentielles se conjoignent, sans esprit de système mais avec une belle harmonie.

    « La Torah est un baiser de Dieu ! », proclame-t-elle : par une attention amoureuse à la richesse du verbe hébraïque, elle en restitue tout le souffle.

     

    Le baiser de Dieu ou l'Alliance retrouvée

     

       

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  • "LE VISAGE DE DIEU" ou Ma vision de la cosmologie-

    Georges Smoot, le "Père" de COBE (Cosmic Background Explorer, satellite lancé en 1992), déclarait dans la salle de presse: "pour les esprits religieux, c'est comme voir le visage de Dieu".

     Une de mes passions est la lecture des livres de vulgarisation de la science,  de la physique quantique à la cosmologie.  Le visage de Dieu reprend l'émerveillement face à la nature que j'ai eu dans mon enfance.  Partagez le avec moi dans les articles que rédige sous le libellé "le visage de Dieu".



    Mes remarques à propos du livre des frères Bogdanov:

     Pourquoi tant de passions? de rejets? Sans doute parce qu'il contraint à un choix impossible: Un univers sans cause d'un côté et de l'autre ce vers quoi G. Smoot a attiré l'attention, le "visage de Dieu"

     

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  • Au long de décennies passées à interroger le texte biblique et les mystères de sa langue, Annick de Souzenelle a construit une lecture originale et vivante de la tradition hébraïque.

     

     

    arbre de la connaisssance

     

     

     

     

     

     

     

    Tout se fonde, dans le travail d'Annick de Souzenelle, sur une lecture pas à pas du texte hébraïque de la Genèse, à travers ses non-dits, ses allusions que seul peut comprendre celui ou celle qui a répudié les promesses illusoires de la traduction : les deux tomes volumineux d'Alliance de feu, réédités récemment, sont le fruit de ce patient cheminement

     


     Ici, je reproduis un texte de Annick de Souzenelle où elle s'exprime sur son livre.



     

    Le souffle de l'hébreu

     


    Au long de décennies passées à interroger le texte biblique et les mystères de sa langue, Annick de Souzenelle a construit une lecture originale et vivante de la tradition hébraïque.

     

     

     

    Tout se fonde, dans le travail d'Annick de Souzenelle, sur une lecture pas à pas du texte hébraïque de la Genèse, à travers ses non-dits, ses allusions que seul peut comprendre celui ou celle qui a répudié les promesses illusoires de la traduction : les deux tomes volumineux d'Alliance de feu, réédités récemment, sont le fruit de ce patient cheminement.

     

     

     

    Partant d'une intuition profonde de la spiritualité chrétienne originelle, Annick de Souzenelle dégage ce patrimoine universel de sa gangue moralisatrice pour en restituer la vitalité enthousiasmante.

    Mettant à portée de tout un chacun la richesse infinie du texte sacré, elle nous donne ainsi à contempler l'amour divin derrière ces mots qu'un « exil existentiel » nous fait parfois lire comme terribles.

     

    Cette démarche, ces « trouvailles » ont réconcilié un large public avec la fréquentation du patrimoine biblique qui, qu'on le veuille ou non, demeure l'un des piliers de la civilisation occidentale : elle en a également débattu passionnément avec Frédéric Lenoir dans L'Alliance oubliée

     

    De la matière de ses commentaires, elle extrait aujourd'hui la quintessence du « message» qu'elle décline selon des thématiques intemporelles : l'exil de Dieu, la liberté, la connaissance, le désir, le mal et la mort, et la renaissance.

     

    Présentation par Annick de Souzenelle.


     

     

     

    AUTANT DE SUJETS QUI SONT AU CŒUR DE TOUT SAVOIR SPIRITUEL AUTHENTIQUE.


     

     

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  • Les limites de la connaissance 6-4) Réalisme et monde quantique 

    Le principe  de la mesure 

     







    Préambule

     

    La science nous permettra-t-elle un jour de tout savoir? Ne rêve-t-elle pas d'une formule qui explique tout? N'y aurait-il rien qui entrave sa marche triomphale? Le monde deviendra-t-il transparent à l'intelligence humaine? Tout mystère pourra-il être à jamais dissipé?


    Hervé Zwirn pense qu'il n'en n'est rien.La science, en même temps qu'elle progresse à pas de géant marque elle même ses limites. C'est ce que montre la découverte des propositions indécidables qui ont suivi le théorème de Gödel. Ou celle des propriétés surprenantes du chaos déterministe. Ou encore les paradoxes de la théorie quantique qui ont opposé Einstein et Bohr  en mettant en cause toute notre manière de penser.

    L'analyse de ces limites que la science découvre à sa propre connaissance conduit à poser une question plus profonde: qu'est ce que le réel?

    (Je voudrais ici faire partager ma lecture de Hervé Zwirn).

     

     

     


     

    Ce cinquième article conclura cette série d'articles de présentation du monde quantique avant d'aborder plus précisément les questions plus philosophiques sur les limites et contre-limites de la connaissance et sur les doutes sur la réalité (que croire?).  Un article intermédiaire sur le chaos quantique (sujet plutôt difficile) servira de transition.


     


    A) Article précédent, résumé: 

    6-3) ébauche d'analyse des implications ontologiques. théories à variables cachées, non-séparabilité et le problème de la mesure

    Principales étapes de l'article.

    1) Ebauche d'analyse des implications ontologiques.

              a) Le caractère abstrait du formalisme quantique est déroutant.

     

              Le caractère abstrait du formalisme quantique est déroutant. 

              b) Signification de ces propriétés: 

                      A) Disparition de la correspondance directe entre état et propriétés. 

                      B) Indéterminisme.

                      C) Interférence des amplitudes de probabilité.

    2) Les théories à variables cachées et la non-séparabilité.

               a) La complétude de la mécanique quantique    

               b) Le paradoxe EPR.

               c) la réponse de Bohr. 

               d) Les théories à variables cachées.

               e) Le verdict expérimental: les inégalités de Bell.

     3) Résumé et conclusions

    Toute théorie reproduisant les prédictions de la mécanique quantique doit donc être non locale et contextualiste.


     


    B) Contenu de cet article qui est la suite du précédent article 6-3 (ébauche des implications ontologiques et théories à variables cachées). Il est donc recommandé de lire ce précédent article 6-3 avant de prendre connaissance du présent article.


    Le problème de la mesure et les théories à variables cachées.


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  • Les limites de la connaissance 6-3) Réalisme et monde quantique 

     ébauche d'analyse des implications ontologiques. théories à variables cachées, non-séparabilité et le problème de la mesure

     

    www.math.polytechnique.fr/~paul/ceri.pdf (formalisme quantique).


    mandala. formalisme quantique



     

     

    Préambule

     

    La science nous permettra-t-elle un jour de tout savoir? Ne rêve-t-elle pas d'une formule qui explique tout? N'y aurait-il rien qui entrave sa marche triomphale? Le monde deviendra-t-il transparent à l'intelligence humaine? Tout mystère pourra-il être à jamais dissipé?


    Hervé Zwirn pense qu'il n'en n'est rien.La science, en même temps qu'elle progresse à pas de géant marque elle même ses limites. C'est ce que montre la découverte des propositions indécidables qui ont suivi le théorème de Gödel. Ou celle des propriétés surprenantes du chaos déterministe. Ou encore les paradoxes de la théorie quantique qui ont opposé Einstein et Bohr  en mettant en cause toute notre manière de penser.

    L'analyse de ces limites que la science découvre à sa propre connaissance conduit à poser une question plus profonde: qu'est ce que le réel?

    (Je voudrais ici faire partager ma lecture de Hervé Zwirn).


    Les limites de la connaissance 6) Réalisme et monde quantique

      6-3:ébauche d'analyse des implications ontologiques. théories à variables cachées, non-séparabilité et le problème de la mesure


    I) Principales étapes de l'article.

    1) Ebauche d'analyse des implications ontologiques.

              a) Le caractère abstrait du formalisme quantique est déroutant.

              b) Signification de ces propriétés: 

                      A) Disparition de la correspondance directe entre état et propriétés. 

                      B) Indéterminisme.

                      C) Interférence des amplitudes de probabilité.

    2) Les théories à variables cachées et la non-séparabilité.

               a) La complétude de la mécanique quantique    

               b) Le paradoxe EPR.

               c) la réponse de Bohr. 

               d) Les théories à variables cachées.

               e) Le verdict expérimental: les inégalités de Bell.

     3) Résumé et conclusions

    Toute théorie reproduisant les prédictions de la mécanique quantique doit donc être non locale et contextualiste.

     

    le chat de Schrödinger



    II) Contenu de l'article. 1) Ebauche d'analyse des implications ontologiques.


              a) Résumé des propriétés quantiques.

    Le caractère abstrait du formalisme quantique est déroutant. "Il consiste à établir une correspondance entre, d'une part, les systèmes physiques, les grandeurs attachées à ces systèmes et  les observations effectuées, et, d'autre part, des objets mathématiques et des équations portant sur ces objets, de telle sorte que, les résultats mathématiques obtenus, une fois retraduits en fonction de ce qu'ils représentent, reproduisent correctement les observations physiques. La justification du formalisme repose a posteriori sur son adéquation avec avec les résultats physiques qu'il prédit." 

    On ne doit pas chercher de compréhension intuitive physique directe des objets du formalisme quantique. L'état quantique d'un système est représenté par un vecteur appartenant à un espace vectoriel appelé "espace de Hilbert des états".Comme pour tout espace vectoriel, toute combinaison linéaire d'états possible est elle-même un état possible (c'est le principe de superposition). 


    A chaque grandeur physique (position, impulsion, énergie,spin...) attachée au système, est associé un opérateur qui agit sur les états possibles; il est appelé "une observable". Le principe de réduction du paquet d'ondes stipule que lorsqu'on mesure une observable A sur un système dans l'état |ψ>, on ne peut obtenir comme résultat que l'une des valeurs propres de l'observable A. Si celle-ci possède plusieurs valeurs propres distinctes, la probabilité d'obtenir une valeur propre donnée a est fonction de l'état initial |ψ>et des états propres de A associés à a. C'est le carré du module de la projection de |ψ> sur le sous-espace propre engendré par les vecteurs propres de |ψ> associés à a. Après une mesure ayant donné a comme résultat, le système n'est plus dans l'état |ψ> mais il est projeté dans l'état propre associé à a:

    Une observable est formalisée mathématiquement par un opérateur agissant sur les vecteurs d'un espace de Hilbert \mathcal{H} (chaque état quantique étant représenté par un vecteur dans cet espace).

     

    Le sens de cet opérateur observable est de donner la possibilité de décomposer un état quantique quelconque |\psi\rangle (donc un vecteur quelconque de l'espace de Hilbert) en une combinaison linéaired'états propres, chacun de ces états étant un état possible résultant de l'opération de mesure.

    Soient |\alpha_i\rangle les vecteurs propres d'un opérateur \hat{A} (éventuellement en nombre infini selon l'observable).

    \hat{A} \Rightarrow |\psi\rangle = c_1 |\alpha_1\rangle + c_2 |\alpha_2\rangle + .. +  c_n |\alpha_n\rangle + ..

    c_i = \langle\psi|\alpha_i\rangle étant le coefficient complexe de cette combinaison linéaire. (C'est une projection, produit scalaire dans l'espace de Hilbert).

    Ce coefficient donne la probabilité pour qu'un état propre \left| \alpha_i \right\rangle  soit le résultat de la mesure d'un état quantique  |\psi\rangle 

    P = {|\langle\psi |\alpha_i\rangle|}^2 (en supposant que \left| \psi \right\rangle  et \left| \alpha_i\right\rangle  soient normés)

    L'ensemble des vecteurs propres |\alpha_i\rangle n'est autre que l'ensemble des résultats possibles de l'opération de mesure formalisée par l'observable.

    Les états qui s'expriment avant la mesure sous la forme simple |\phi\rangle = c_i |\alpha_i\rangle sont appelés état propre ou état pur. En règle générale, un état quantique n'est pas pur et sont des états superposés, pour cette observable.

    Un état peut être pur selon une observable donnée, et être superposé selon une autre observable. C'est d'ailleurs la raison fondamentale du principe d'incertitude d'Heisenberg : un état quantique qui est pur pour une observable (et qui possède donc une valeur précise pour cette observable), peut avoir tout un ensemble de valeurs possibles pour une autre observable.

    Après l'opération de mesure, le système physique mesuré sera dans l'un des états propres définis par l'observable (postulat d'effondrement de la fonction d'onde).

    La mesure d'une observable (ou d'un ensemble complet d'observables qui commutent) permet de connaître précisément l'état dans lequel est le système. En général, comme il n'est pas dans le même état avant et après la mesure, il est impossible de mesurer une grandeur sans perturber le système (sauf si celui-ci est déjà dans un état propre de l'observable mesurée). Quand on connaît avec précision la valeur d'une observable, la valeur des observables qui ne commutent pas avec elle n'est pas définie. En l'absence de mesure, l'état du système évolue de manière déterministe selon l'équation de Schrödinger


              b) Signification de ces propriétés: 


    A) Disparition de la correspondance directe entre état et propriétés

    L'état d'un système n'est plus, comme en mécanique classique, la liste exhaustive des valeurs possédées par les grandeurs physiques attachées au système. L'état quantique est déterminé par une mesure des valeurs simultanées d'un ensemble d'observables qui commutent (ce qui est possible car elle sont compatibles, elles commutent). Mais le prix à payer est que toutes les autres observables ne pourront plus être considérées comme ayant des valeurs définies lorsque le système est dans cet état (On pourrait objecter que que ce n'est pas parce que nous ne pouvons pas mesurer simultanément ces valeurs, qu'elles n'ont pas,  indépendamment de notre connaissance, une valeur définie. L'analyse des états superposés montre que la mécanique quantique orthodoxe n'autorise pas une telle interprétation. Certaines tentatives ont été faites dans ce sens, comme les théories à variables cachées). On pourrait se représenter les états quantiques comme des états classiques pour lesquels il serait impossible, par principe, de donner toutes les valeurs simultanément, mais même si l'état ne peut spécifier qu'une partie des propriétés, cette donnée est censée représenter la totalité des informations sur le système (en fait, il y a des propriétés d'interférence qui peuvent exister entre certaines composantes de l'état) . On dit que la mécanique quantique est "complète". Il ne faut pas penser que l'état "réel" du système est "lui" plus complet que l'état quantique qui ne peut "encapsuler" qu'une partie de cet état. L'état réel est l'état quantique et rien d'autre (ce qui a choqué Einstein). Il ne spécifie pas les valeurs de toutes les propriétés simultanément  non parce qu'il est incomplet, mais parce qu'un état qui les spécifierait simultanément est physiquement impossible

    Prenons l'exemple des propriétés d'impulsion, position et spin. Ces 3 ,grandeurs sont des vecteurs déterminés par leurs 3 composantes suivant un système d'axes orthonormés Oxyz. A chaque projection sur un axe correspond une observable. La position est associée à aux 3 observables Rx,Ry,Rz, l'impulsion à Px,Py,Pz et le spin à Sx,Sy,Sz. Les 3 observables de position commutent. Il est donc possible de connaître les vecteurs position ou impulsion d'une particule. En revanche, les observables de spin ne commutent pas 2 à 2. Il est donc impossible de connaître simultanément la valeur du spin de la projection du spin sur deux axes distincts. Les observables De spin commutent toutes avec celles de position et d'impulsion, mais ces dernières ne commutent que lorsqu'elles sont en projection sur un axe différent (Rx et Py commutent, mais pas Rx et Px). 

    L'image classique de d'un système possédant de propriétés qui lui sont attachées indépendamment de toute mesure doit donc être abandonnée. Les propriétés n'ont pas de valeur en soi mais s'en voient attribuer une selon la mesure qu'on en fait. On doit en conclure que l'existence d'une propriété n'est plus un attribut de l'objet lui-même, mais de l'ensemble composé par l'objet et par l'appareil de mesure utilisé. On peut d'une certaine manière dire que c'est la mesure qui crée la propriété ou que la propriété n'est devenue qu'une simple potentialité. Le spin suivant Os devient une manière de parler de ce qui peut se produire lorsqu'on fait passer un électron dans un appareil de Stern et Gerlach. Initialement, c'est Bohr qui a mis en avant une telle manière de présenter la mesure. 

    Il existe cependant une échappatoire permettant de connaître partiellement la valeur de deux observables qui ne commutent pas. Si on se contente de le mesurer approximativement la position d'une particule, il est possible de connaître simultanément l'impulsion amis de manière approximative aussi. le précision qu'on est en droit d'attendre de ces mesures simultanées est limitée par les relations d'incertitude de Heisenberg qui stipulent que le produit des incertitudes sur deux mesures incompatibles est toujours supérieur à une certaine constante (h/4π  dans la cas de la position et de l'impulsion). Dans le cas d'une précision infinie sur la position, l'impulsion ne sera plus définie du tout comme on vient de la voir pour la définition de l'état d'un système. 

    Dans le monde macroscopique, on a l'impression que qu'on peut toujours mesurer simultanément la position et la vitesse, l'imprécision des appareils de mesure entraîne toujours une certaine incertitude. Nous avons l'illusion que celle-ci peut être aussi réduite que nous voulons, mais nous sommes très loin des limites imposées par la mécanique quantique.  Par exemple pour un grain de poussière de diamètre 1μ, de masse 10-15 kg, de vitesse 10-3 m/s, une mesure de position à  0,001 μ près engendrera une incertitude sur l'impulsion de 10-26 kg.m/s, soit une incertitude relative de 10-8, bien au-delà de la précision de nos appareils de mesure. Le fait d'attribuer aux objets des propriétés ayant des valeurs définies est une illusion due à la sensibilité limitée de nos appareils de mesure.


    B) Indéterminisme.

    Les prédictions de la mécanique quantique sont de nature probabiliste. Contrairement à la mécanique classique, il est impossible de prédire avec certitude le résultat d'une mesure même si on connaît précisément l'état initial du système. En mécanique classique, il existe une correspondance biunivoque stricte entre l'état du système et la valeur de ses propriétés. Connaitre l'état est rigoureusement équivalent à connaître la valeur des propriétés. En mécanique quantique, l'évolution de l'état du système est aussi déterministe, elle est régie par l'équation de Schrödinger.  La connaissance de l'état initial permet de prédire avec certitude les états ultérieurs du système tant qu'on n'effectue aucune mesure. Mais connaître l'état du système à un instant donné, ne suffit pas pour prédire la valeur de ses propriétés. La conséquence est que même si l'état évolue de manière déterministe entre les mesures, le résultat d'une mesure ne peut plus être prédit que de manière probabiliste. 

    Les prédictions de la mécanique quantique ont donc irréductiblement un caractère essentiellement probabiliste. La nécessité de se contenter de prédictions probabilistes était déjà apparu en mécanique classique dans la mécanique statistique et la thermodynamique. Les caractéristiques globales des gaz (température, pression), sont expliquées par les mouvements des molécules. La pression est due aux chocs des molécules sur les parois d'un récipient. La mécanique classique avec la loi des chocs permet en principe de calculer toutes les trajectoires. Ce n'est que la pratique (un litre de gaz comporte de l'ordre de 1022 molécules), qui ne permet pas de résoudre ni même d'exprimer le système. On en est donc réduit à se contenter de calculer des moyennes sur ces trajectoires à partir des probabilités. Mais il est admis que que chaque molécule possède à tout moment une vitesse et une position déterminées. Les probabilités permettent de d'effectuer des moyennes sur un grand nombre de molécules , moyennes qui représentent justement la pression ou la température du gaz. Elles permettent de reproduire les résultats de la thermodynamique qui, elle, obtenait ces résultats sans faire d'hypothèse sur la constitution interne du gaz. La mécanique statistique est donc une théorie probabiliste, mais la nature probabiliste de ce mécanisme est due à l'impossibilité matérielle de traiter trop d'informations à la fois, elle n'entraîne aucune conséquence ontologique sur le comportement des systèmes qu'elle étudie.

    Par contre, la nature probabiliste de la mécanique quantique est toute différente. Ce n'est pas notre incapacité  à traiter trop d'informations à la fois ou notre méconnaissance des états précis  qui rendent nécessaire l'utilisation des probabilités, mais la nature des objets quantiques, il y a une conséquence ontologique sur cette nature. L'indéterminisme quantique est intrinsèque et résulte non pas de l'évolution des états (qui est déterministe) mais de la disparition de la correspondance directe entre un état et la valeur des propriétés du système dans cet état. 


    C) Interférence des amplitudes de probabilité.

    Quelques rappels: L'état |ψ> d'un système ne peut plus être interprété comme la liste des valeurs possédées par l'ensemble des propriétés d'un système. On peut alors être tenté par se représenter un état quantique comme l'analogue d'un état classique pour lequel on s'interdit de donner des valeurs à toutes les valeurs simultanément. Mais cette représentation n'est pas bonne, car elle ne rend pas compte des capacités des composantes de l'état à interférer entre elles. 

    Résumé de l'expérience du passage de l'électron à travers des trous d'Young. |1> est l'état de l'électron qui est passé par le trou 1 (||2> pour le trou 2) (ou plutôt pour lequel une mesure a montré qu'il était passé par le trou 1). On peut dire que c'est cette mesure qui a précipité l'électron dans l'état |1>. Lorsqu'un appareil de mesure permettant de savoir par quel trou est passé chaque électron est en place, tout électron est soit dans l'état |1>, soit dans l'état |2>. Dans ce cas il n'y a pas d'interférence. Le principe de réduction du paquet d'ondes dit qu'une mesure de position sur l'écran d'un électron dans l'état |1> donnera le résultat x avec une probabilité égale au carré du module de la projection de |1> sur l'état |x>, état qui correspond à à un électron observé à la position x. Cette probabilité se note p1(x) = |<x|1>|² (produit scalaire dans le formalisme de la mécanique quantique). Cela donne une courbe de répartition des impacts présentant un maximum en face du trou 1, et de même pour l'état 2. Comme chaque électron arrivant sur l'écran est alors soit dans l'état 1, soit dans l'état 2,  la courbe finale sera la somme des deux courbes, courbe totale sans interférence correspond à la probabilité: p(x) = 1/2[p1(x)  +p2(x)] = 1/2[|<x|1>|² + |<x|2>|²].

    Par contre, si on n'observe pas quel trou passent les électrons, ceux-ci arrivent dans l'état superposé 1/2[|1> + |2 >] (le facteur 2 et un facteur de normalisation).  Le principe de réduction du paquet d'ondes dit alors que la probabilité d'observer un impact à la position x est donné par:    [|<x|1>|² + |<x|A|²] + <1|x><x|2> + <2|x><x|1>]. Les deux termes supplémentaires (appelés termes croisés) sont ceux qui induisent la présence d'interférences entre les deux états |1> et |2> au sein de l'état superposé. 

    En conclusion, c'est le sens de la suggestion de Max Born pour l'interprétation qu'il convient de donner l'état |ψ> d'un système: c'est une amplitude de probabilité (La probabilité pour que , lors d'une mesure, on obtienne un résultat x et que le système soit projeté dans l'état propre associé à |x>, est égale au carré du module de la projection de l'état initial |ψ> sur l'état  |x>. Si on note |Ψ(x)> la projection de  |ψ> sur |x>, la probabilité d'obtenir x est alors |ψ(x) 2|).


    En mécanique quantique ondulatoire, une amplitude de probabilité est une fonction à valeurs complexes associée à la probabilité de trouver le système dans un état particulier.

     

    Soit une particule quantique. On la décrit par une fonction d'onde \psi : \mathbf{R}^3\rightarrow \mathbf{C}; cette fonction décrit l'état du système. Dans l'interprétation de Copenhague, l'interprétation majoritairement admise dans la communauté scientifique, on dit que les valeurs de ψ représentent des amplitudes de probabilité. Lors d'une mesure de la position d'une particule, la probabilité qu'elle soit dans un volume V est donnée par

    \int_V |\psi(\mathbf x)|^2\,\mathrm d\mathbf x,

    c'est-à-dire que | ψ | 2 représente la densité de probabilité de la position de la particule.

    Cela confirme que l'état quantique ne représente plus la liste des valeurs possédées par les propriétés d'un système, mais un outil mathématique utilisé pour calculer les probabilités que les propriétés du système aient telle ou telle valeur. De plus, |Ψ> ne représente même pas directement une probabilité, c'est le carré de son module qui est une probabilité, c'est pour cela qu'on parle d'amplitude de probabilité. C'est ce qui a fait dire à Heisenberg: "La conception de la réalité objective des particules élémentaires s'est donc étrangement dissoute, non pas dans le brouillard d'une nouvelle conception de la réalité obscure ou mal comprise, mais dans la clarté transparente d'une mathématique qui ne représente plus le comportement de la particule élémentaire, mais la connaissance que nous en possédons." 


    2) Les théories à variables cachées et la non-séparabilité.


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    a) La complétude de la mécanique quantique.  Dès le début, l'abandon d'un grand nombre de caractéristiques propres à la physique classique provoqua l'opposition entre deux conceptions.  D'une part celle d'Einstein, Schrödinger et De Broglie qui restent attachés à un physique réaliste dans laquelle les objets ont une existence "en soi", des propriétés bien définies qui ne dépendent nullement du processus d'observation et tels qu'une prédiction non probabiliste des résultats reste, au moins en principe, possible. C'est le sens de la célèbre affirmation d'Einstein: "Dieu au moins, ne joue pas aux dés". Pour Einstein, puisque l'état quantique ne permet pas aux différentes propriétés d'un système de posséder des valeurs simultanément, alors que, selon lui, il va de soi que ces propriétés ont "en réalité" des valeurs définies, c'est que le formalisme quantique est incomplet. Une théorie , pour être complète doit avoir la propriété qu'à chaque élément de la réalité physique corresponde un élément de la théorie. La mécanique quantique, devrait donc se voir compléter par des éléments supplémentaires permettant de rétablir une connaissance précise de l'ensemble des propriétés d'un système: ce sont les variables cachées.

     D'autre part, celle dite de "l'école de Copenhage", principalement défendue par Bohr et Heinsenberg. En gros, elle accepte les étrangetés telles quelles. L'interprétation de Copenhague consiste, pour résoudre un problème, à simplement appliquer les postulats de la mécanique quantique pour prédire le résultat. Même si le résultat est choquant pour l'intuition (paradoxe EPR), les adeptes de Copenhague considèrent que si la mécanique quantique a prédit correctement l'issue, elle se suffit à elle-même ; il n'est pas nécessaire d'introduire des variables cachées. Il n'y a pas non plus à tirer des conclusions sur la nature de l'univers : l'issue est contenue dans les postulats, il n'y a pas d'autre conclusion à en tirer. se poser des questions sur ce qui se passe "réellement" entre deux mesures n'est pas pertinent. seule importe la connaissance de ce qui est mesurable, le reste est dépourvu de sens. Cette pensée est à rapprocher de l'Empirisme, on peut la qualifier de d'instrumentaliste ou de positiviste. Elle se satisfait de l'efficacité prédictive de la théorie et va même jusqu'à décréter dépourvue de sens toute question qui ne se réfère pas à un phénomène observable.

    Précédents historiques: Sans doute pour avoir la paix, Nicolas Copernic prit soin de deux choses : d’une part ne publier qu’à titre posthume, d’autre part mentionner que la relativité dont il parlait constituait avant tout un moyen commode de simplifier les calculs par rapport à la théorie des épicycles utilisée à son époque, sans chercher à se prononcer sur une quelconque réalité sous-jacente.
    Cette considération de Copernic annonce déjà l’attitude qui sera plus tard celle de l’École de Copenhague en mécanique quantique : décrire, sans nécessairement prétendre expliquer, et s’en tenir aux faits observables. Hypotheses non fingo, dira Isaac Newton : « Je n’avance pas d’hypothèses », je constate juste pour le moment que les choses fonctionnent ainsi. Richard Feynman prend soin d’enseigner la mécanique quantique avec la même prudence dans son cours, tout en déplorant le côté frustrant et non satisfaisant pour l’esprit de la chose
    .

    Ce désaccord fondamental éclate violemment lors de la parution en 1935 d'un article d'Einstein, Podolski et Rosen (paradoxe EPR) qui suggèrent une expérience destinée à mettre en défaut le caractère de complétude de la mécanique quantique. Il est habituellement présenté sous une forme plus simple proposée par Bohm.


              b) Le paradoxe EPR.

    Le paradoxe EPR, abréviation de Einstein-Podolsky-Rosen, est une expérience de pensée, élaborée par Albert EinsteinBoris Podolsky et Nathan Rosen, dont le but premier était de réfuter l'interprétation de Copenhague de la physique quantique.

    L'interprétation de Copenhague s'oppose à l'existence d'un quelconque état d'un système quantique avant toute mesure. En effet, il n'existe pas de preuve que cet état existe avant son observation et le supposer amène à certaines contradictions. Voir dans fr.wikipedia.org/wiki/Intrication_quantique Le caractère surprenant des états intriqués souligné par EinsteinPodolsky et Rosen dans leur article de 1935 

    (Voir aussi le très intéressant texte suivant: "Interprétation de la physique quantique : La physique quantique est-elle une théorie complète ? Philippe Cristofari, Frédéric Elie, Colette Garaventa. juin 1980")


    Présentation du critère de réalité par Einstein: "Si, sans perturber le système en aucune manière, on peut prédire avec certitude la valeur d'une quantité physique qui s'y rapporte, alors il y a vraiment un élément de la réalité physique qui correspond à cette quantité." 

    (voir dans wikipedia:Le "dispositif expérimental" (de pensée) proposé en 1935 est assez complexe, mais peut être décrit de manière plus simple sans en changer l'esprit.

    Soit deux photons P1 et P2 intriqués (voir ci-dessus, intrication quantique) de manière à avoir un moment angulaire total égal à zéro (spins anti-corrélés ou état singulet). Les deux quantités physiques non-commutables utilisée dans le raisonnement sont : 1) Le spin mesuré selon une direction Sx 2) Le spin mesuré selon une autre direction Sz.

    Si on mesure P1 selon Sx, alors - sans aucunement perturber P2 (on suppose le principe de localité) on connaît nécessairement la mesure de P2 selon cet axe (l'opposé).

    De même, si on mesure P2 selon Sz, alors - sans aucunement perturber P1, on connaît nécessairement la mesure de P1 selon cet axe (l'opposé également).

    Donc, la mesure de P1 selon un axe et de P2 selon l'autre permet de prédire avec certitude la valeur des deux quantités physiques. Ces deux quantités possèdent donc une réalité objective, et par conséquent 2) est faux et 1) est vrai.

    Tel est le paradoxe formulé initialement par EPR.

    Inégalités de Bell (source Wikipédia). Exemple de 2 particules 1 et 2 de spin 1/2 dans un état singulet et qui se séparent dans deux directions opposées.

    Les résultats des mesures ne sont pas nécessairement identiques sur les deux particules. Par exemple, on peut mesurer le spin d'une des particules selon un certain angle et le spin de l'autre particule selon un autre angle.

    Les résultats des mesures sont alors de nature statistique. Par exemple, la mesure du spin à l'aide d'un polariseur donne toujours un résultat tout ou rien. Ce que l'on obtiendra alors pour les deux mesures sont des statistiques de coïncidences : les deux mesures donnent un résultat identique dans X% des cas (et non 100% dans le cas de mesures identiques). Un grand nombre de mesures successives (sur un grand nombre de paires de particules) permet alors de calculer la corrélation entre ces mesures de spin sous des angles différents.

    Si l'on se place dans l'hypothèse des théories locales déterministes à variables cachées, les inégalités de Bell donnent des relations auxquelles ces corrélations doivent obéir.

    Nous allons démontrer ces inégalités dans un cas un peu plus simple que celui d'un angle quelconque afin de bien montrer l'origine du raisonnement.

    Soit deux particules α et β dont le spin a trois composantes A, B et C. Les composantes peuvent prendre deux valeurs + et - (on omet le facteur 1/2). Pour chaque composante, nous noterons les valeurs A + , B − , etc. Les deux particules ont des spins opposés. Lorsque α a la composante A + , alors β a la composante A − , etc.

    On mesure des paires de valeurs AB, AC et BC sur les deux particules. Le résultat des mesures est désigné par A + C − , etc.

    Si l'état des particules est déterministe, décrit par des variables cachées, alors chaque particule a un spin parfaitement déterminé avec des composantes A, B et C précises. Même si les variables cachées ne sont pas connues avec exactitude, et donc le spin, il n'empêche que cette valeur précise existe.

    Soit un ensemble de particules dans un état de spin donné pris dans un ensemble plus vaste, quelconque, de particules dans tous les états possibles. Par exemple est l'ensemble des particules avec ces composantes,  l'ensemble des particules avec ces composantes, ...

    Alors nous aurons :

     et

    Ces relations découlent tout simplement de la théorie des ensembles. Donc:

    Si  désigne le nombre de particules dans cet état, alors :

    Maintenant, nous effectuons nos mesures sur deux particules de spins opposés et ces particules sont émises sous forme d'un flux de particules de spins quelconques. Nous en déduisons que :

    où  est la probabilité de mesurer A + sur l'une des particules et B + sur l'autre.

    C'est un exemple d'inégalité de Bell.

    Dans le cas de la mesure du spin selon un angle quelconque, on n'utilise que deux composantes du spin et l'angle entre les composantes. Le calcul est un peu plus compliqué mais semblable. Le résultat est :

    ou α, β et γ sont des angles donnés aux polariseurs et  est la fonction de corrélation pour ces deux angles (la corrélation peut être négative).

     

    Dans le cas de la mécanique quantique, si l'angle du premier polariseur est α et l'angle du deuxième polariseur est β, alors le calcul (identique à la probabilité de mesurer le spin selon l'angle α alors que l'on sait que le spin a été mesuré selon l'angle β) donne :

    Comme on mesure des coïncidences, la fonction de corrélation est alors donnée par :

    On voit que les inégalités de Bell sont violées pour, par exemple, des angles égaux à  et .

    L'expérience (par exemple celle d'Alain Aspect) a largement confirmé ces résultats et aussi que la loi de Malus était vérifiée sur des photons individuels.

     

    Analyse du problème. Dans le formalisme quantique, un état singulet s'écrit: 1/2[ |A+>z |B->z - |A->z |B+>z]. (A et B étant les deux photons et leurs états correspondant à une valeur +/- 1/2 suivant Oz ). Supposons que le système soit initialement au repos et qu'à l'instant t = 0, il se désintègre. Chaque particule part dans un sens opposé (loi de la conservation de l'impulsion). Mesurons à l'instant t le spin de A suivant Oz. Si on trouve +1/2, une mesure de B suivant Oz devra donner -1/2 puisque le spin total est nul (conservation du moment cinétique), et vice versa. On peur donc prédire avec certitude quel sera le spin de B suivant Oz si on mesure celui de A, et ceci sans faire aucune mesure sur B qui peut être très éloigné de A au moment de cette mesure. Cela permet de penser que l'on n'a pas perturbé B. C'est donc que le spin de B suivant Oz a réellement cette valeur, et que, selon le critère proposé, un élément de réalité correspond à ce spin. Un mesure du spin aurait pu être faite suivant n'importe quel axe. La conclusion est que, contrairement à ce que prétend la mécanique quantique, le spin de B possède une valeur définie simultanément suivant tous les axes, c'est donc une théorie incomplète. Après la désintégration, et avant la mesure, le système est déjà dans un des deux états  |A+>z |B->z - ou |A->z |B+>z. On a vu précédemment que l'état initial du singulet est 1/2[ |A+>z |B->z - |A->z |B+>z ]. Comment concilier ces deux aspects? Le système n'autorisant que des prédictions probabilistes, peut-on dire le système est composé de N2 systèmes dans l'état |A+>z |B->z et de n/2 systèmes dans l'état |A->z |B+>z? Comme on l'a déjà dit, ce n'est pas légitime présenter les choses ainsi pour l'état superposé du singulet. Nous semblons nous heurter à une contradiction.  

    Si on accepte l'argument d'Einstein, podolski et Rosen, il faut en conclure que le formalisme de la mécanique quantique est incomplet. De plus, pour sortir de la contradiction concernant l'état dans lequel se trouve le système total avant toute mesure, cet argument semble imposer une modification du formalisme: est-ce l'état singulet ou l'un des deux états de spin définis? Si au contraire, compte tenu de ses résultats jamais mis en défaut, on met en doute le fait que la mécanique quantique peut produire un résultat contradictoire, il faut identifier la faille. 


              c) la réponse de Bohr. 

    Ce dernier a fourni une réponse dès 1935: pour lui, on ne peut parler de l'existence d'un système et de ses propriétés indépendamment d'instruments de mesure susceptibles d'interagir avec lui. Une propriété physique n'appartient pas à un système microscopique, mais à l'ensemble constitué par le système et l'appareil de mesure. Ce n'est que par commodité de langage que nous attribuons la propriété mesurée au système lui-même. Bohr admet bien sûr que la mesure du spin n'affecte pas B de manière mécanique, par une quelconque perturbation physique au sens habituel, mais sa conclusion est beaucoup dévastatrice pour la conception intuitive: avant la mesure du spin, les deux particules A et B, bien que spatialement séparées par une distance éventuellement très grande, ne forment pas deux entités séparées. L'ensemble constitué par les deux particules est dans l'état singulet 1/2[ |A+>z |B->z - |A->z |B+>z ], mais ni la particule A ni la particule B ne possède individuellement d'état défini. Seul le système possède un état, cet état singulet. L'écart se creuse ici entre les états classiques et les états quantiques: un objet quantique peut n'être dans aucun état. Lorsque deux systèmes ont interagi, seul le système global est dans un état définiC'est ce qu'on appelle "la non-séparabilité" ou "l'inséparabilité quantique". Il est hors de question d'avoir une représentation intuitive ou imagée d'une telle propriété, elle est trop radicalement en dehors de notre expérience macroscopique.

    La solution du paradoxe consiste donc à considérer qu'avant la mesure du spin de A, l'ensemble des deux particules est dans l'état singulet et qu'aucune des deux particules ne possède d'état défini. Lorsque la mesure est effectuée, A acquiert un état individuel qui peut être |A+>z ou |A->z et corrélativement B acquiert l'état |B->z ou |B+>z. Il n'y a plus de contradiction, mais en contrepartie, il faut admettre que la mesure du spin de A permet à B, qui peut être très éloigné, d'acquérir instantanément un état individuel (on ne viole pas le principe de relativité car il est possible de montrer qu'aucune énergie ni information ne peut être transmise de cette manière). Ce qui est encore plus étrange, c'est qu'il en est de même pour la position des 2 particules. A et B forment donc un tout inséparable avant toute mesure et sont séparés par la première mesure effectuée. On peut même se demander s'il convient de parler d'objet à propos de chacune des 2 particules tant que celles-ci n'ont pas été séparées par une mesure sur l'une d'entre elles. 


              d) Les théories à variables cachées.

    Cet aspect contre-intuitif de la non-séparabilité n'a pas satisfait ceux des physiciens qui s'opposaient déjà à la mécanique quantique. Ils ont recherché des formalismes différents pour revenir à des comportements plus raisonnables des systèmes physiques avec le désir de rétablis le déterminisme (c'est le sens de la remarque d'Einstein). Mais l'accent a ensuite porté sur les aspects ontologiques. Le défi consiste à construire une théorie qui ne possède pas les propriétés indésirables de la mécanique quantique mais avec les contraintes de fournir les mêmes prédictions. L'idée initiale consiste à supposer que l'état quantique d'un système, qui ne fournit que des contraintes statistiques sur les résultats de mesure, représente une moyenne d'états individuels bien déterminés auxquels on peut associer des valeurs définies des grandeurs. L'état est alors complété par une ou plusieurs variables "cachées" dont la connaissance permettrait de prédire avec certitude la valeur de grandeurs mesurées.  Par exemple: si à un état |Ψ> du formalisme quantique orthodoxe prédit que la variable A peut être a1 avec la probabilité p1 ou a2 avec la probabilité p2, la théorie à variables cachées complétera la description de l'état du système en associant à |Ψ> une variable λ qui pourra valoir +1 ou -1. Si le système est dans l'état |Ψ, +1>, la mesure de A donnera obligatoirement la valeur a1, et si le système est dans l'état |Ψ, -1>, la mesure donnera obligatoirement la valeur a2. Le formalisme quantique n'utilisant que |Ψ> sera donc incomplet puisqu'il ignorera le fait qu'il est possible de donner une description plus fine de l'état. On rétablit ainsi le déterminisme car dans un tel état (dit "sans dispersion", la valeur de l'observable est définie précisément et la connaissance de l'état complet permet de prédire avec certitude le résultat de la mesure. 

    La thermodynamique donne en ce sens des prédictions qui sont des moyennes effectuées sur des états que la mécanique statistique spécifie complètement. Louis de Broglie pensait ainsi que la mécanique quantique est la thermodynamique de d'un milieu subquantique. Il a proposé une première théorie de ce type (à variables cachées) en utilisant la dualité onde-corpuscule et en proposant que toute particule soit accompagnée d'une onde qui la guiderait dans son trajet., appelée "théorie de l'onde pilote". Cette théorie donnait une explication simple de l'expérience des trous d'Young. Mais son aspect séduisant présente des difficultés: elle ne transporte aucune énergie mais peut cependant interagir avec l'électron qu'elle guide. De plus, elle ne peut décrire des systèmes de plusieurs particules. De Broglie l'a finalement abandonnée, mais elle fut développée sous un angle différent par David Bohm (Dans un prochain article, cette théorie sera reprise dans le cadre d'une analyse du problème de la mesure et des discussions ontologiques)

    De son côté, Von Neumann a énoncé une preuve mathématique selon laquelle aucune théorie à variables cachées ne peut reproduire toutes les prédictions de la mécanique quantique. Elle a abouti à l'abandon de la recherche d'une telle théorie jusqu'à ce qu'on mette en évidence une faille dans son argument. Parmi ces théories, dans celles qu'on appelle "théories locales", les propriétés des systèmes sont déterminées par des facteurs qui ne dépendent pas d'entités éloignées du système lui-même peuvent fournir des prévisions globalement analogues à celles de la mécanique quantique à certaines exceptions près qui, en fait, ont permis de réfuter ces théories. 


              e) Le verdict expérimental: les inégalités de Bell.

    L'expérience EPR était une "expérience de pensée" destinée à mettre en évidence des conséquences des conséquences du formalisme mais sans produire aucun effet expérimental testable. C'est Jonh Bell qui dans un célèbre article de 1964 amena la controverse sur le terrain expérimental. Il a montré que toute théorie qui suppose un "comportement local" et qui refuse la "non-séparabilité" est en désaccord avec le mécanique quantique concernant le résultat de certaines mesures corrélées. Ce désaccord est manifesté par une inégalité respectée par les théories locales et violée par la mécanique quantique. Le seule hypothèse faite par Bell est que la théorie en question vérifie le principe de causalité locale selon lequel, la probabilité d'évènements se produisant dans une certaine région de l'espace-temps n'est pas modifiée par un information se produisant dans une autre région  si ces deux régions sont séparées par un intervalle du genre espace (Aucun signal ne peut se propager de l'une à l'autre).


    Inégalité de Bell (source wikipédia).

    Reprenons l'exemple de deux particules 1 et 2 dans un état singulet, qui se séparent dans deux directions opposées. Les résultats des mesures ne sont pas nécessairement identiques sur les deux particules. Par exemple, on peut mesurer le spin d'une des particules selon un certain angle et le spin de l'autre particule selon un autre angle.

    Les résultats des mesures sont alors de nature statistique. Par exemple, la mesure du spin à l'aide d'un polariseur donne toujours un résultat tout ou rien. Ce que l'on obtiendra alors pour les deux mesures sont des statistiques de coïncidences : les deux mesures donnent un résultat identique dans X% des cas (et non 100% dans le cas de mesures identiques). Un grand nombre de mesures successives (sur un grand nombre de paires de particules) permet alors de calculer la corrélation entre ces mesures de spin sous des angles différents.

    Si l'on se place dans l'hypothèse des théories locales déterministes à variables cachées, les inégalités de Bell donnent des relations auxquelles ces corrélations doivent obéir.

    Nous allons démontrer ces inégalités dans un cas un peu plus simple que celui d'un angle quelconque afin de bien montrer l'origine du raisonnement.

    Soit deux particules α et β dont le spin a trois composantes A, B et C. Les composantes peuvent prendre deux valeurs + et -. Pour chaque composante, nous noterons les valeurs A + , B − , etc. Les deux particules ont des spins opposés. Lorsque α a la composante A + , alors β a la composante A − , etc.

    On mesure des paires de valeurs AB, AC et BC sur les deux particules. Le résultat des mesures est désigné par A + C − , etc.

    Si l'état des particules est déterministe, décrit par des variables cachées, alors chaque particule a un spin parfaitement déterminé avec des composantes A, B et C précises. Même si les variables cachées ne sont pas connues avec exactitude, et donc le spin, il n'empêche que cette valeur précise existe.

    Soit un ensemble de particules dans un état de spin donné pris dans un ensemble plus vaste, quelconque, de particules dans tous les états possibles. Par exemple  est l'ensemble des particules avec ces composantes,  l'ensemble des particules avec ces composantes (pour une particule, il existe donc 8 états possibles), ... Alors nous aurons :

     et

    Ces relations découlent tout simplement de la théorie des ensembles. Donc :

    Si  désigne le nombre de particules dans cet état, alors 

     

    Comme Il n'est pas possible de mesurer simultanément les composantes suivant les 2 axes du spin d'une particule et donc de tester directement cette inégalité, on peut l'écrire sous la forme n(A1+B2-)  ≤ n(A1+C2-) +n(B1+C2+). Cette inégalité, elle, est testable puisqu'elle ne nécessite qu'une seule mesure de spin suivant B pour la particule 2.

     

    Maintenant, nous effectuons nos mesures sur deux particules de spins opposés et ces particules sont émises sous forme d'un flux de particules de spins quelconques. Nous en déduisons que :

    où  est la probabilité de mesurer A + sur l'une des particules et B + sur l'autre.

    C'est un exemple d'inégalité de Bell.


    Dans le cas de la mesure du spin selon un angle quelconque, on n'utilise que deux composantes du spin et l'angle entre les composantes. Le calcul est un peu plus compliqué mais semblable. Le résultat est :

    où α, β et γ sont des angles donnés aux polariseurs et  est la fonction de corrélation pour ces deux angles (la corrélation peut être négative).

    L'inégalité de Bell découle directement de l'hypothèse , respectée par les théories locales, selon laquelle une particule possède des composantes de spin simultanément définies suivant tous les axes. Or, il se trouve que la mécanique quantique prédit que pour certaines orientations des axes A, B, C, l'inégalité ne sera pas respectée. Dès 1972, des expériences furent menées, mais le montage était redoutablement complexe et l'inégalité ne put être testée directement. La plupart d'entre elles ont montré que l'inégalité est violée, mais jusqu'en 1982, il était encore possible aux partisans des théories à variables cachées de de faire appel à un argument pour sauver leurs conceptions: la direction de mesure était choisie suffisamment tôt pour permettre un éventuel échange d'informations entre les appareils. Il n'était donc pas impossible d'imaginer un hypothétique mécanisme par lequel, une fois toutes les directions de mesure choisies, une influence se propage d'un appareil à l'autre à une vitesse inférieure à celle de la lumière, informant l'appareil de mesure de la particule 1 de la direction choisie pour la mesure sur la particule 2. Cette possibilité a été définitivement écartée par les expériences menées par Alain Aspect (1980-1982)

    (source wikipédia): En 1980, il manquait donc encore une expérience décisive vérifiant la réalité de l'état d'intrication quantique, sur la base de la violation des inégalités de Bell (rappel sur l'intrication quantique: L'intrication quantique est un phénomène qui a été pour la première fois mis en évidence par Erwin Schrödinger en 19351. La mécanique quantique stipule que deux systèmes quantiques différents (deux particules par exemple) ayant interagi, ou ayant une origine commune, ne peuvent pas être considérés comme deux systèmes indépendants. Dans le formalisme quantique, si le premier système possède un état |\psi\rangle et le second un état |\phi\rangle, alors le système intriqué résultant est représenté par une superposition quantique du produit tensoriel de ces deux états : |\psi\rangle|\phi\rangle. Dans cette notation, il apparaît nettement que l'éloignement physique des deux systèmes ne joue aucun rôle dans l'état d'intrication (car il n'apparaît aucune variable de position). L'état quantique intriqué reste identique — toutes choses étant égales par ailleurs — quel que soit l'éloignement des deux systèmes. Par conséquent, si une opération de mesure est effectuée sur ce système quantique intriqué, alors cette opération est valable pour les deux systèmes composant l'intricat : les résultats des mesures des deux systèmes sont corrélés.

    Alain Aspect a spécifié son expérience pour qu'elle puisse être la plus décisive possible, c'est-à-dire :

    Elle doit avoir une excellente source de particules intriquées, afin d'avoir un temps d'expérience court, et une violation la plus nette possible des inégalités de Bell.

    Elle doit mettre en évidence non seulement qu'il existe des corrélations de mesure, mais aussi que ces corrélations sont bien dues à un effet quantique (et par conséquent à une influence instantanée), et non à un effet classique qui se propagerait à une vitesse inférieure ou égale à celle de la lumière entre les deux particules.

    Le schéma expérimental doit être le plus proche possible du schéma utilisé par John Bell pour démontrer ses inégalités, afin que l'accord entre les résultats mesurés et prédits soit le plus significatif possible.

    "Source wikipédia": Rappel du schéma « idéal » de John Bell

     

     

     

     

    Le schéma ci-dessus représente le schéma de principe a partir duquel John Bell a démontré ses inégalités : une source de photons intriqués S émet simultanément deux photons ν1 et ν2 dont la polarisation est préparée de telle manière que le vecteur d'état de l'ensemble des deux photons soit :

    Cette formule signifie tout simplement que les photons sont en état superposé : tous les deux en polarité verticale, ou tous deux en polarité horizontale, perpendiculaire, avec une probabilité égale.

    Ces deux photons sont ensuite mesurés par deux polariseurs P1 et P2, chacun ayant un angle de mesure paramétrable α et β. Le résultat de la mesure de chaque polariseur est (+) ou (-) selon que la polarisation mesurée est respectivement parallèle ou perpendiculaire à l'angle de mesure du polariseur.

    Il y a un point important à souligner ici : les polariseurs imaginés dans cette expérience idéale donnent un résultat mesurable dans le cas (+) ET dans le cas (-). Ce n'est pas le cas de tous les polariseurs réels : certains détectent le cas (+) par exemple, et ne détectent rien (le photon ne ressort pas du polariseur) pour le cas (-). Les premières expériences, relatées ci-dessus, utilisaient ce genre de polariseur. Les polariseurs utilisés par Alain Aspect détectent bien les deux cas (+) et (-), se rapprochant ainsi de l'expérience idéale.

    Etant donné le dispositif et l'état de polarisation initial donné aux photons, la mécanique quantique permet de prédire les probabilités de mesurer (+,+), (-,-), (+,-) et (-,+) sur les polariseurs (P1,P2), orientés sur les angles (α,β) ; pour rappel :

    On peut démontrer (voir article Inégalités de Bell) que la violation maximale des inégalités est prévue pour |α-β| = 22°5

     

    Polariseurs à orientation variable et en position éloignée: Un point très important qui devait être testé par cette expérience est qu'il fallait s'assurer que les corrélations entre les mesures faites par P1 et P2 ne soient pas induites par des effets d'origine « classique », et notamment par des artefacts expérimentaux.

    Par exemple, si l'on prépare les polariseurs P1 et P2 avec des angles fixes donnés α et β, on peut toujours imaginer que cet état fixe génère des corrélations parasites via des boucles de courant, de masse, ou autres effets. Car les deux polariseurs font partie d'une même installation et peuvent très bien être influencés l'un l'autre via les divers circuits du dispositif expérimental, et générer des corrélations lors de la mesure.

    On peut également imaginer que l'orientation fixe des polariseurs influe, d'une manière ou d'une autre, sur l'état avec lequel le couple de photons est émis. Dans ce cas, les corrélations de mesure pourraient s'expliquer par des variables cachées au niveau des photons, dès l'émission. (Ces observations avaient été faites à Alain Aspect par John Bell lui-même).

    Une manière incontestable de mettre hors de cause ce genre d'effets — quels qu'ils soient — est que l'orientation (α,β) des polariseurs soit déterminée au dernier moment (après l'émission des photons, et avant la détection) et qu'ils soient suffisamment éloignés l'un de l'autre pour qu'aucun signal n'aie le temps d'aller de l'un à l'autre.

    De cette manière, on ne peut invoquer ni une influence de l'orientation des polariseurs au niveau de l'émission des photons (car lors de l'émission, l'orientation est encore indéterminée), ni une influence d'un polariseur sur l'autre (car les polariseurs sont trop éloignés l'un de l'autre pour pouvoir s'influencer).

    En conséquence, dans le dispositif expérimental d'Aspect, les polariseurs P1 et P2 étaient séparés de 6m de part et d'autre de la source, et de 12m l'un de l'autre. Cela donnait un temps de 20ns entre l'émission des photons et la détection : c'est le laps de temps extrêmement court pendant lequel il fallait décider de l'orientation et orienter les polariseurs.

    Comme il est physiquement impossible de changer matériellement l'orientation d'un polariseur dans ce laps de temps, deux polariseurs par côté ont été utilisés, pré-orientés différemment. Un « aiguillage » à très haute fréquence de basculement orientait aléatoirement le photon vers l'un ou l'autre de ces polariseurs. L'ensemble de ce dispositif était équivalent à un seul polariseur dont l'angle de polarisation bascule aléatoirement.

    Comme il n'était pas possible non plus de provoquer le basculement des aiguillages par l'émission du couple de photons, chaque aiguillage basculait en fait périodiquement avec une période de 10ns, de manière asynchrone avec l'émission des photons. Mais étant donné la période, on était assuré que l'aiguillage bascule au moins une fois entre l'émission d'un photon et sa détection.

     

    Le dispositif expérimental a été conçu pour que la direction de mesure de la particule 2 soit choisie à un moment où il est trop tard pour qu'un signal, même se propageant à la vitesse de la lumière puisse influence la mesure de la particule 1. Le verdict expérimental est sans appel: toute théorie à variables cachées locale est réfutée par l'expérienceLa séparabilité, c'est à dire le fait qu'une mesure effectuée par un instrument sur une particule ne peut influencer le résultat d'une mesure faite par un autre instrument éloigné sur une particule ayant interagi avec la première, doit être abandonnée.  


    3) Résumé et conclusions.

    Non séparabilité. Si une théorie est locale, les mesures de corrélation portant sur certaines de ses grandeurs doivent vérifier les inégalités de Bell. Les prédictions de la mécanique aboutissent à une violation de ces inégalités, or l'expérience montre que ces inégalités sont bien violées. 

    Deux positions sont alors possibles: 

         - Position des défenseurs des théories à variables cachées non locales: continuer à admettre que les propriétés d'un système peuvent être toutes simultanément définies, mais alors il faut accepter le fait que les propriétés d'une particule peuvent influencer instantanément celles d'une autre particule ayant interagi avec elle. 

          - Rejeter le fait que les propriétés d'un système sont simultanément définies et accepter le formalisme de la mécanique quantique. 

    Dans les deux cas, il est nécessaire d'admettre que certaines propriétés ou certains évènements peuvent s'influencer instantanément, quelle que soit la distance entre eux. Mais les théories à variables cachées locales (comme toutes les théories locales) sont de toute façon réfutées par l'expérience. Cette propriété est appelée "non-séparabilité" lorsque elle s'applique à la mécanique quantique et "non-localité" lorsqu'elle s'applique aux variables cachées non locales. En mécanique quantique, elle exprime que des systèmes qui ont interagi ne peuvent être indépendants tant qu'une mesure ne les a pas séparés, même s'ils sont à très grande distance l'un de l'autre (cas de l'état singulet) et aucun d'eux ne possède d'état individuel. Dans les théories à variables cachées on locales, on suppose au contraire que chaque particule possède des propriétés bien définies, mais qui ne sont pas indépendantes l'une de l'autre. la non-localité exprime donc ici la possibilité d'influences à distance instantanées de certaines propriétés sur d'autres (comme le dirait Michel Bitbol, la non-localité est une projection ontologique de la non-séparabilité).

     

    Contextualisme. Un autre théorème important de limitation est celui de Kochen et Specker qui montre que toute théorie à variable s cachées déterministe compatible avec la mécanique quantique doit être contextualiste. Prenons un exemple. Soit un système physique S et 3 observables A, B, C telles que B et C sont compatibles avec A mais pas entre elles. Supposons qu'on mesure simultanément A et B ou A et C. Dans une théorie à variables cachées déterministe, on s'attend à ce que la mesure de A dépende de l'état global du système, mais pas du choix (B ou C) de l'autre observable mesurée, donc à ce que la mesure d'une observable ne dépende pas du contexte. Une telle théorie est appelée "non contextualiste". Comme le dit D'Espagnat, "Les conditions qui définissent les types de possibles de prédictions concernant le comportement futur des systèmes quantiques sont partie inhérente de la description de tout phénomène auquel la'expression "réalité physique" peut valablement être attachée". On retrouve ici la réfutation par Bohr du paradoxe EPR. Il suggérait seulement l'existence d'une influence sur les types de prédictions qu'on pouvait faire (position...). Ici l'influence sur les valeurs même des grandeurs dynamiques. Toute théorie reproduisant les prédictions de la mécanique quantique doit donc être non locale et contextualiste.On est alors loin de la motivation originelle qui a présidé à la construction des théories à variables cachées. 


    Dans le prochain article, nous reviendrons sur le problème de la mesure avec le rôle de la conscience et les différentes solutions qui y ont été apportées et les conséquences philosophiques.



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  • |Les limites de la connaissance 6-2) Réalisme et monde quantique 

     éléments de physique quantique


     

    Dans cet article, ont été présentées les premières notions pour essayer d'appréhender le monde quantique. Dans le prochain article, nous verrons une ébauche d'analyse des implications ontologiques. Seront évoquées les théories à variables cachées et la non-séparabilité ainsi que le problème de la mesure.



     

    Préambule

     

    La science nous permettra-t-elle un jour de tout savoir? Ne rêve-t-elle pas d'une formule qui explique tout? N'y aurait-il rien qui entrave sa marche triomphale? Le monde deviendra-t-il transparent à l'intelligence humaine? Tout mystère pourra-il être à jamais dissipé?


    Hervé Zwirn pense qu'il n'en n'est rien.La science, en même temps qu'elle progresse à pas de géant marque elle même ses limites. C'est ce que montre la découverte des propositions indécidables qui ont suivi le théorème de Gödel. Ou celle des propriétés surprenantes du chaos déterministe. Ou encore les paradoxes de la théorie quantique qui ont opposé Einstein et Bohr  en mettant en cause toute notre manière de penser.

    L'analyse de ces limites que la science découvre à sa propre connaissance conduit à poser une question plus profonde: qu'est ce que le réel?

    (Je voudrais ici faire partager ma lecture de Hervé Zwirn).


    Les limites de la connaissance 6) Réalisme et monde quantique 

     6-2: éléments de physique quantique


    1) Les systèmes et les états. L'état d'un système.


    a) l'état en physique classique.

    - Un système est un morceau de réalité, selon l'expression de David Ruelle, qu'on isole par la pensée. La description physique doit préciser les entités corps matériels, champs, etc...) et ses propriétés physiques qu'il faudra décrire et prédire, avec différents niveaux de précision (par exemple une boule en métal aimantée se déplaçant sur un billard, en considérant que la boule est assez petite pour être un point matériel et le champ magnétique trop faible pour influencer le mouvement). La représentation adoptée sera celle d'un point matériel M de masse m glissant sur une surface plane dont les seules propriétés considérées sont la position ou la vitesse à chaque instant. Ce qu'on cherche à décrire, c'est l'évolution des propriété physiques retenues comme faisant partie du système (la position et la vitesse de la boule...). La donnée des valeurs de chacune des grandeurs physiques appartenant à un système constitue "l'état " du système à cet instant. Cette notion d'état est fondamentale. En physique classique, il semble aller de soi qu'à tout instant un système est dans un état bien défini, les grandeurs physiques qui lui sont attachées possèdent des valeurs déterminées précisément. Un boule possède une position et une vitesse parfaitement définies, même si nous ne les connaissons pas. Il y  a une correspondance parfaite entre la boule réelle et sa description par la donnée de son état. On peut ainsi associer à la boule une trajectoire qui est l'ensemble de ses positions successives au cours du temps. Toute liste de valeurs ne représente pas forcément un état réel, deux nombres décrivant une position située en dehors du billard ne correspondent pas à un état possible (c'est un état descriptible en termes linguistiques) . Le modèle doit spécifier quelles contraintes pèsent sur sur ces valeurs et préciser comment elles varient. 

    Certains formalismes sont tels qu'en faisant la somme (éventuellement pondérée, on l'appelle alors une "combinaison linéaire") de deux états possibles, on obtient un nouvel état possible du système. Si E et E' sont deux états représentés respectivement par des listes de valeurs (x,y,....t) et (x',y',....t'), L'état E = E' est représenté par (x+x', y+y',...t+t'). Une combinaison linéaire est un somme pondérée de type aE + bE'. Elle correspond à la liste de valeurs (ax + bx', ay +by',...at +bt')Si on assimile l'état du système, en tant que liste de nombre, à un vecteur, les états forment un espace vectoriel dit "espace des états".  Un exemple en électrostatique est l'état d'un ensemble de corps conducteurs à l'équilibre. 

    - En physique classique, on constate "un engagement ontologique" fort quant aux propriétés des systèmes physiques et aux états correspondants: à tout système peuvent être attachées des propriétés qui lui appartiennent en propre et qui prennent à tout moment des valeurs bien définies (vitesse, position, moment cinétique, température...).  De plus, elles sont simultanément définies et mesurables. Le fait de mesurer la valeur d'une de ces propriétés ne modifie en rien la valeur possédée par les autres propriétés et ne change pas l'état du système mesuré (Si on mesure la valeur d'une propriété qui stipule que la valeur de cette propriété est α, on est assuré de trouver α et réciproquement, si on a mesuré la valeur α pour une propriété, on est sûr que le système est dans un état qui correspond à cette valeur pour la propriété en question. A tout système correspond un état bien défini et réciproquement il est possible d'interpréter la liste des nombres entrant dans la description d'un état comme celles de l'état d'un système dont les propriétés à cet instant  ont les valeurs correspondantes. Ces valeurs peuvent ne pas être possibles pour le système, mais elles sont interprétables en termes de sens. Un état où la boule de billard est à l'extérieur du billard n'est pas possible, à cause des contraintes où elle est emprisonnée sur la table, mais un tel état est descriptible en termes linguistiques )


    Appareil de stern et gerlach

    -En mécanique quantique, la situation est différente. Non seulement il existe des systèmes qui ne sont dans aucun état défini mais, de plus, certains états précis ne sont pas interprétables en termes linguistiques classiques.  Il n'est plus possible de considérer que les propriétés d'un système possèdent toutes simultanément des valeurs définies. Mesurer une propriété peut avoir comme conséquence de changer une autre propriété. Cela pose donc le problème de la signification qu'il faut accorder au concept d'état quantique et à celui de propriété possédée par un système. 

    L'état d'un système est quelquefois appelé sa fonction d'onde (cette dénomination provient de la mécanique ondulatoire de Schrödinger) \left| \Psi (t)\right\rangle. Un des principes de la mécanique quantique qu'on appelle "le principe de superposition", stipule que toute combinaison linéaire d'états quantiques possibles du système est un état quantique possible du système. Il en résulte que les états quantiques forment un espace vectoriel qu'on appelle "espace de hilbert des états". Ce principe n'est pas accessoire mais il constitue un des fondements de la mécanique quantique. Certains états (on les appelle "états superposés") obtenus par combinaisons linéaires d'états donnés, bien que possibles selon la théorie ne sont pas interprétables en termes classiques (cela signifie qu'ils ne correspondent pas à des valeurs définies des grandeurs physiques concernées). 


    Vu son importance, ce principe est détaillé ci-dessous, il sera par la suite largement commenté. 

    En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantitéobservable (spin, position, quantité de mouvement etc.)

    Ce principe résulte du fait que l'état - quel qu'il soit - d'un système quantique (une particule, une paire de particules, un atome etc..) est représenté par un vecteur dans un espace vectoriel nommé espace de Hilbert (premier postulat de la mécanique quantique).

     

    Comme tout vecteur de tout espace vectoriel, ce vecteur admet une décomposition en une combinaison linéaire de vecteurs selon une base donnée. Or, il se trouve qu'en mécanique quantique, une observable donnée (comme la position, la quantité de mouvement, le spin etc..) correspond à une base donnée de l'espace de Hilbert.

    Par conséquent, si l'on s'intéresse à la position (par exemple) d'une particule, l'état de position doit être représenté comme une somme d'un nombre infini de vecteurs, chaque vecteur représentant une position précise dans l'espace. Le carré de la norme de chacun de ces vecteurs représente la probabilité de présence de la particule à une position donnée.

    En notation bra-ket la superposition d'un état quantique |\psi\rangle se note :

    |\psi\rangle = c_1 |\alpha_1\rangle + c_2 |\alpha_2\rangle + .. +  c_n |\alpha_n\rangle + ..

    ci étant le coefficient complexe de la combinaison linéaire, et |\alpha_i\rangle les vecteurs de la base choisie (qui dépend de l'observable).

    Cette combinaison linéaire est nommée état de superposition, car la particule peut être vue comme étant simultanément, avec des probabilités diverses, en plusieurs endroits. L'état de superposition s'applique de la même façon à toutes les autres observables imaginables : vitesse, spin, ... et même mort/vivant dans le cas du célèbre Chat de Schrödinger.

     

    2) Le spin et les états superposés.

    De façon générale, un objetpossède un spin s\, s'il est invariant sous une rotation d'angle \frac{2\pi}{s}\,Une étoile à cinq branches possède un spin 5 car il est suffisant de lui faire faire une rotation de \frac{2\pi}{5}\,

    Le spin est une propriété des particules qui ne peut être décrite qu'en physique quantique.  Intuitivement, on peut se représenter une particule comme une boule tournant sur elle-même. Le spin serait alors l'équivalent de son moment cinétique de rotation propre. 

    spin de l'électron

    Cette notion a été historiquement proposée pour les électrons par Uhlenbeck et Goudsmit en 1925 pour rendre compte des spectres atomiques, notamment le dédoublement des raies spectrales du sodium. Elle s'est appliquée ensuite à toute particule quantique (proton, neutron, noyau, photon, ...). Très vite après son introduction, Pauli développa l'idée de spin en lui donnant une formulation algébrique. Il essaya surtout de se dégager de la représentation initiale qui en était faite, et qui perdure encore quand il s'agit de l'expliquer "qualitativement". En effet le spin est couramment présenté comme le moment cinétique propre d'un objet tournant sur lui-même comme les planètes ou les balles de tennis. Cette interprétation est très insuffisante pour expliquer nombre de phénomènes. Le spin est en fait une grandeur dont le sens n'apparaît clairement et naturellement que lorsqu'on se place dans le cadre de la mécanique quantique relativiste (Dirac en 1928, Wigner en 1939). Ceci implique que le spin est un "objet" purement quantique dont la compréhension physique reste, encore à l'heure actuelle, à compléter. Malgré cela, la réalité du spin est prouvée et il est surprenant que les règles le concernant soient relativement simples. En particulier, le spin est quantifié, c'est à dire, puisque c'est un vecteur, que ses projections sur un axe ne peuvent prendre que des valeurs particulières, entières ou demi-entières. Une particule de spin demi-entier est un fermion, une particule de spin entier est un boson

    C'est un peu comme une boule qui ne pourrait tourner sur elle-même qu'à des vitesses multiples de de 1 tour par seconde (1/2 tour/s pour les fermions). Elle pourrait ainsi tourner à 0,1,2 ou 10 tours/s mais pas à 2,3 tours/s. La projection sur un axe du spin d'un boson de spin entier ne peut prendre que les valeurs n,n-1,...0,-1,-2...-n et (n/2 pour des fermions). Il s'exprime en unités n = h/2π, h étant la constante de Planck


    La mesure de la projection sur un axe du spin d'un électron se fait au moyen d'un appareil de Stern et Gerlach (voir image en illustration du chapitre 1).

     On fait passer l'électron dans un champ magnétique orienté selon l'axe voulu. Celui-ci est dévié vers le haut ou vers le bas selon que son spin est +1/2 ou -1/2. On observe son impact sur l'écran pour connaître la valeur de son spin selon l'axe considéré. Notons |+>z et |->z les états où la projection du spin suivant Oz est égal à +1/2 et -1/2. L'état de combinaison linéaire 1/2 [+>z + |->z ] est un état possible (combinaison linéaire). Cependant, il ne correspond à aucune valeur définie de la projection su spin suivant Oz. La théorie prédit que le résultat sera tantôt 1/2, tantôt -1/2, avec une répartition égale entre les deux valeurs. Plus généralement, une mesure du spin suivant Oz d'un électron dans l'état [Cosα |+>z + Sinα |->z  ] donnera +1/2 avec une probabilité Cos²α et -1/2 avec la probabilité  Sin²α.  Cela signifie que si on considère un ensemble de N électrons, dans l'état en question et qu'on effectue une mesure de spin suivant Oz, on obtiendra en moyenne, NCos²α électrons dont le spin suivant Oz est 1/2 et NSin²αdont le spin suivant Oz est -1/2. 


    La conclusion est que dans un tel état superposé, la projection du spin suivant Oz ne possède aucune valeur définie. On peut être tenté de de dire que la superposition ne serait que l'expression formelle du mélange de plusieurs états différents, mais dont chacun correspondrait à une valeur bien définie du spin. C'est inexact.

     Considérons, d'un côté, un ensemble E de N électrons dans un état superposé, et de l'autre, un ensemble E' de N électrons dont un proportion Cos²α est dans l'état |+>z et une proportion Sin²α est dans l'état |->z. Si la superposition n'est qu'une manière formelle d'exprimer un mélange, les deux ensembles doivent être identiques et toutes les prédictions qu'on peut faire sur les deux ensembles doit coïncider. C'est bien le cas sur les mesures qui donnent 1/2 avec une proportion Cos²α et 1/2 avec une proportion  Sin²α   pour les 2 ensembles. En revanche, les prédictions concernant un autre axe, par exemple Ox, seront différentes. Une mesure suivant Ox sur l'ensemble E donnera comme résultat 1/2(Cosα Sinα)² et -1/2(Cosα - Sinα)². Alors que la même mesure sur l'ensemble E' donnera 1/2 et -1/2 à égalité. 

    On peut montrer, de manière générale, qu'il est impossible de construire un mélange statistique d'électrons dont chacun est dans un état de spin défini suivant Oz et tel que les prédictions soient identiques pour ce mélange statistique et pour l'ensemble d'électrons dans l'état superposé correspondant. Il est donc impossible d'interpréter un ensemble de N électrons dans l'état superposé  [Cosα |+>z + Sinα |->z  ] comme un mélange d'électrons  dont une partie serait dans l'état |+>z (et aurait un spin +1/2), et une partie dans l'état |->z (spin -1/2). Il en résulte que le spin suivant Oz d'un électron dans l'état superposé  [Cosα |+>z + Sinα |->z  ] ne peut être considéré comme possédant une valeur définie. 


    L'étrangeté de ce constat augmente encore si on raisonne sur la position de l'électron. Si |x> l'état d'un électron occupant la position x et |x'> celui d'un électron dans la position x', |x> +|x'> est aussi un état possible (principe de superposition).  Quelle position occupe un électron dans un tel état? La mécanique quantique répond: une fois sur 2 en x et une fois sur deux en x'. L'électron dans cet état n'occupe aucune position définie dans l'espace. Considérer qu'il est à la fois dans les 2 endroits ou qu'il est un peu dans chaque position n'a pas grand sens. On préfère considérer qu'un tel état quantique ne s'interprète pas en termes macroscopiques habituels. Les objets auxquels nous sommes habitués ne se trouvent jamais dans un état comparable. Réinterprétation de l'expérience des trous d'Young. On a vu que quand on éclaire les trous, on peut voir par lequel passent les électrons. Notons |1> l'état de l'électron qui correspond au passage de l'électron par le premier trou et |2> celui qui correspond au passage par le deuxième trou. |1> + |2> est un état possible de l'électron. Par quel trou est passé l'électron qui est dans ce état? Il est impossible d'interpréter l'état superposé comme correspondant à un électron qui est passé par un des trous. Cette indétermination est valable pour toutes les propriétés physiques du système. 


    3) Le principe de réduction du paquet d'ondes. La mesure quantique.

    En mécanique classique, on suppose qu'il est toujours possible de mesurer la valeur d'une propriété sans perturber le système. Un mesure ne fait que constater la valeur et n'a aucune influence sur l'état du système. En mécanique quantique, il en va différemment. 

    Le processus de mesure est régi par le principe de réduction du paquet d'ondes (ainsi appelé en référence à la fonction d'onde du système). Il énonce quelles sont les valeurs qu'il est possible de trouver quand on mesure une propriété sur un système dans un état donné et quel sera l'état du système après la mesure, en fonction du résultat trouvé. De plus, en mécanique classique, les grandeurs observables sont des nombres ou des vecteurs (listes de nombres). Le formalisme quantique associe à chaque grandeur physique observable d'un système (position, impulsion, spin, énergie...) un opérateur appelé justement "une observable". Un opérateur est une fonction de l'espace des états dans lui-même qui fait correspondre à chaque vecteur d'état un autre vecteur d'état  |\psi \rangleOn appelle vecteur propre d'un opérateur un vecteur tel que l'action de l'opérateur a pour effet de la multiplier par une constante. Si P est un opérateur et |\psi \rangle un vecteur d'état, |\psi \rangle sera un vecteur propre (ou "état propre"), Si |\psi \rangle = λ |\psi \rangle. La constante λ est appelée "valeur propre" associée au vecteur propre |\psi \rangle. Un opérateur a en général plusieurs valeurs propres. 

    Le principe de réduction du paquet d'ondes stipule que:

    a) Mesure d'une observable A: les seuls résultats qu'on peut trouver sont les valeurs propres de A.

    b) Si on trouve la valeur propre a comme résultat de la mesure, le système se trouvera après le mesure dans l'état propre de A correspondant à la valeur propre a. 

    c) La probabilité de trouver la valeur propre a comme résultat de la mesure = carré d'un nombre qui s'obtient à partir de l'état initial et des états propres de l'observable A.

    Commentaires:

    a) Pour le spin, seules les valeurs +1/2 et -1/2 (valeurs propres de l'observable associée au spin de l'électron suivant une axe) sont possibles. Dans le cas où on mesure l'énergie d'un système et où l'observable associée le "hamiltonien",  a des valeurs propres discrètes, le système ne pourra posséder que certaines énergies bien définies, c'est l'origine de la quantification de l'énergie. 

    c) Dans le cas le plus général où l'observable possède plusieurs valeurs propres distinctes, il n'est pas possible de prévoir avec certitude le résultat de la mesure. La mécanique quantique ne fournit que la probabilité de tel ou tel résultat, la prédiction est non déterministe, de nature probabiliste.


    4) Les observables incompatibles.


    En général, appliquer à un vecteur d'état l'opérateur A, suivi de l'opérateur B n'est pas équivalent à lui appliquer d'abord B, puis A. cela signifie que qu'en général AB n'est pas égal à BA (AB  BA). Lorsque AB = BA, on dit que les opérateurs commutent. Or, le formalisme quantique implique qu'il n'est pas possible de connaître simultanément la valeur de deux grandeurs physiques d'un système lorsque les observables associées ne commutent pas. En effet, il n'est possible de connaître la valeur d'une grandeur physique qu'en la mesurant. Considérons alors le système dans un état  |\psi\rangleOn peut commencer par mesurer A. Le principe de réduction dit que le résultat peut être une des valeurs propres associées à A. Mais li on a obtenu a comme résultat, l'état du système ne sera plus  |\psi\rangle mais deviendra l'état propre associé à a. Si on mesure maintenant B, on peut obtenir comme résultat l'une quelconque des valeurs propres associées de B. Supposons que nous ayons obtenu b. Le système se retrouve alors, après les deux mesures faites dans cet ordre, dans l'état propre associé à b.


     On pourrait penser qu'on connaît  simultanément la valeur de A et celle de B: a et b. Pour s'en assurer, il devrait suffire de refaire une mesure de A. On remarque d'abord que le résultat de la mesure ne peut donner que l'une des valeurs propres de l'observable mesurée et que la probabilité d'obtenir une valeur propre dépend de l'état initial et des états propres de l'observable. On n'est donc assuré d'obtenir comme résultat un valeur propre donnée que si l'état initial dans lequel se trouve le système est l'état propre correspondant à cette valeur. Si on effectue 2 fois de suite une mesure de l'observable A, on obtiendra bien deux fois la même valeur puisque le système sera projeté dans l'état propre correspondant et cette deuxième mesure ne pourra que donner le même résultat, ce qui permet d'ailleurs de donner un sens au fait qu'on a mesuré A. Dans le cas où on a fait la mesure de B en second, une nouvelle mesure de B donnera bien le résultat b. Mais si dans ce cas on fait une nouvelle mesure de A, (et si les observables ne commutent pas), l'état propre de B associé à la valeur b dans lequel se trouve le système après la mesure ayant donné cette valeur b est tel que la probabilité d'obtenir une valeur de A différente de a n'est pas nulle (car cet état propre de B n'est pas un état propre de A). Il n'est donc pas légitime d'affirmer que A possède la valeur A, la mesure de B ayant perturbé le système. Il est impossible d'affirmer que A possède une valeur définie. 

     


    Résultats:

    Etat propre avant  la mesure  Mesure     Résultat      Etat propre après la mesure

                       

    1                |ψ >                                      A              a                 |a>    [A vaut a]

     

    2           |a>  [A vaut a]                        A              a                 |a>    [A vaut toujours a]

    3           |a>  [A vaut a]                        B              b                 |b>    [B vaut b]

    4            |b>  [B vaut b, A ne vaut plus a]    A             a'a              |a'>   [A vaut a']

    On a un résultat similaire au spin. Dans le cas du spin, le fait que la valeur du spin suivant Oz n'est pas définie quand l'électron est dans l'état superposé n'est que la manifestation du fait que dans cet état, l'électron a un spin bien défini suivant l'axe Oi et qu'il est impossible qu'il ait 

    simultanément une valeur définie suivant Oz puisque les observables associées au spin suivant Oz et suivant Oi ne commutent pas. Il en est de même pour les observables position et vitesse d'une particule. 


    5) L'équation de Schrödinger.


    Le principe de réduction du paquet d'ondes dit comment évolue évolue l'état d'un système lorsqu'on effectue une mesure sur ce système. Mais l'état d'un système évolue en fonction du temps, même lorsqu'aucune mesure n'est effectuée sur lui. Cette loi d'évolution est une équation différentielle, "l'équation de Schrödinger" qui s'écrit en notation moderne (définition wikipedia)

    L'état à l'instant t d'un système est décrit par un élément \left| \Psi (t)\right\rangle de l'espace complexe de Hilbert (avec la notation bra-ket de Paul Dirac\left| \Psi (t)\right\rangle représente les densités probabilités de résultats de toutes les mesures possibles d'un système.

     

    L'évolution temporelle de \left| \Psi (t)\right\rangle est décrite par l'équation de Schrödinger :

     

     

     

     

    \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m}\left| \Psi (t)\right\rangle + V(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t)\left| \Psi (t) \right\rangle=i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle

     

     

     

    Contrairement aux équations de Maxwell gérant l'évolution des ondes électromagnétiques, l'équation de Schrödinger est non relativiste. Cette équation est un postulat. Elle a été supposée correcte après que Davisson et Germer eurent confirmé expérimentalement l'hypothèse de Louis de Broglie.

     

    Sa résolution permet en principe de calculer l'état du système au temps t lorsque l'état initial est |Ψ>. Comme on l'a vu dans l'article sur le chaos déterministe,  l'évolution régie par une équation différentielle implique que celle-ci soit déterministe: si on connaît l'état initial, on peut prédire avec certitude l'état à un instant ultérieur.


    Dans cet article, ont été présentées les premières notions pour essayer d'appréhender le monde quantique. Dans le prochain article, nous verrons une ébauche d'analyse des implications ontologiques. Seront évoquées les théories à variables cachées et la non-séparabilité ainsi que le problème de la mesure.


     

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  • |Les limites de la connaissance 6-2) Réalisme et monde quantique 

     éléments de physique quantique


     

    Dans cet article, ont été présentées les premières notions pour essayer d'appréhender le monde quantique. Dans le prochain article, nous verrons une ébauche d'analyse des implications ontologiques. Seront évoquées les théories à variables cachées et la non-séparabilité ainsi que le problème de la mesure.



     

    Préambule

     

    La science nous permettra-t-elle un jour de tout savoir? Ne rêve-t-elle pas d'une formule qui explique tout? N'y aurait-il rien qui entrave sa marche triomphale? Le monde deviendra-t-il transparent à l'intelligence humaine? Tout mystère pourra-il être à jamais dissipé?


    Hervé Zwirn pense qu'il n'en n'est rien.La science, en même temps qu'elle progresse à pas de géant marque elle même ses limites. C'est ce que montre la découverte des propositions indécidables qui ont suivi le théorème de Gödel. Ou celle des propriétés surprenantes du chaos déterministe. Ou encore les paradoxes de la théorie quantique qui ont opposé Einstein et Bohr  en mettant en cause toute notre manière de penser.

    L'analyse de ces limites que la science découvre à sa propre connaissance conduit à poser une question plus profonde: qu'est ce que le réel?

    (Je voudrais ici faire partager ma lecture de Hervé Zwirn).


    Les limites de la connaissance 6) Réalisme et monde quantique 

     6-2: éléments de physique quantique


    1) Les systèmes et les états. L'état d'un système.


    a) l'état en physique classique.

    - Un système est un morceau de réalité, selon l'expression de David Ruelle, qu'on isole par la pensée. La description physique doit préciser les entités corps matériels, champs, etc...) et ses propriétés physiques qu'il faudra décrire et prédire, avec différents niveaux de précision (par exemple une boule en métal aimantée se déplaçant sur un billard, en considérant que la boule est assez petite pour être un point matériel et le champ magnétique trop faible pour influencer le mouvement). La représentation adoptée sera celle d'un point matériel M de masse m glissant sur une surface plane dont les seules propriétés considérées sont la position ou la vitesse à chaque instant. Ce qu'on cherche à décrire, c'est l'évolution des propriété physiques retenues comme faisant partie du système (la position et la vitesse de la boule...). La donnée des valeurs de chacune des grandeurs physiques appartenant à un système constitue "l'état " du système à cet instant. Cette notion d'état est fondamentale. En physique classique, il semble aller de soi qu'à tout instant un système est dans un état bien défini, les grandeurs physiques qui lui sont attachées possèdent des valeurs déterminées précisément. Un boule possède une position et une vitesse parfaitement définies, même si nous ne les connaissons pas. Il y  a une correspondance parfaite entre la boule réelle et sa description par la donnée de son état. On peut ainsi associer à la boule une trajectoire qui est l'ensemble de ses positions successives au cours du temps. Toute liste de valeurs ne représente pas forcément un état réel, deux nombres décrivant une position située en dehors du billard ne correspondent pas à un état possible (c'est un état descriptible en termes linguistiques) . Le modèle doit spécifier quelles contraintes pèsent sur sur ces valeurs et préciser comment elles varient. 

    Certains formalismes sont tels qu'en faisant la somme (éventuellement pondérée, on l'appelle alors une "combinaison linéaire") de deux états possibles, on obtient un nouvel état possible du système. Si E et E' sont deux états représentés respectivement par des listes de valeurs (x,y,....t) et (x',y',....t'), L'état E = E' est représenté par (x+x', y+y',...t+t'). Une combinaison linéaire est un somme pondérée de type aE + bE'. Elle correspond à la liste de valeurs (ax + bx', ay +by',...at +bt')Si on assimile l'état du système, en tant que liste de nombre, à un vecteur, les états forment un espace vectoriel dit "espace des états".  Un exemple en électrostatique est l'état d'un ensemble de corps conducteurs à l'équilibre. 

    - En physique classique, on constate "un engagement ontologique" fort quant aux propriétés des systèmes physiques et aux états correspondants: à tout système peuvent être attachées des propriétés qui lui appartiennent en propre et qui prennent à tout moment des valeurs bien définies (vitesse, position, moment cinétique, température...).  De plus, elles sont simultanément définies et mesurables. Le fait de mesurer la valeur d'une de ces propriétés ne modifie en rien la valeur possédée par les autres propriétés et ne change pas l'état du système mesuré (Si on mesure la valeur d'une propriété qui stipule que la valeur de cette propriété est α, on est assuré de trouver α et réciproquement, si on a mesuré la valeur α pour une propriété, on est sûr que le système est dans un état qui correspond à cette valeur pour la propriété en question. A tout système correspond un état bien défini et réciproquement il est possible d'interpréter la liste des nombres entrant dans la description d'un état comme celles de l'état d'un système dont les propriétés à cet instant  ont les valeurs correspondantes. Ces valeurs peuvent ne pas être possibles pour le système, mais elles sont interprétables en termes de sens. Un état où la boule de billard est à l'extérieur du billard n'est pas possible, à cause des contraintes où elle est emprisonnée sur la table, mais un tel état est descriptible en termes linguistiques )


    Appareil de stern et gerlach

    -En mécanique quantique, la situation est différente. Non seulement il existe des systèmes qui ne sont dans aucun état défini mais, de plus, certains états précis ne sont pas interprétables en termes linguistiques classiques.  Il n'est plus possible de considérer que les propriétés d'un système possèdent toutes simultanément des valeurs définies. Mesurer une propriété peut avoir comme conséquence de changer une autre propriété. Cela pose donc le problème de la signification qu'il faut accorder au concept d'état quantique et à celui de propriété possédée par un système. 

    L'état d'un système est quelquefois appelé sa fonction d'onde (cette dénomination provient de la mécanique ondulatoire de Schrödinger) \left| \Psi (t)\right\rangle. Un des principes de la mécanique quantique qu'on appelle "le principe de superposition", stipule que toute combinaison linéaire d'états quantiques possibles du système est un état quantique possible du système. Il en résulte que les états quantiques forment un espace vectoriel qu'on appelle "espace de hilbert des états". Ce principe n'est pas accessoire mais il constitue un des fondements de la mécanique quantique. Certains états (on les appelle "états superposés") obtenus par combinaisons linéaires d'états donnés, bien que possibles selon la théorie ne sont pas interprétables en termes classiques (cela signifie qu'ils ne correspondent pas à des valeurs définies des grandeurs physiques concernées). 


    Vu son importance, ce principe est détaillé ci-dessous, il sera par la suite largement commenté. 

    En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantitéobservable (spin, position, quantité de mouvement etc.)

    Ce principe résulte du fait que l'état - quel qu'il soit - d'un système quantique (une particule, une paire de particules, un atome etc..) est représenté par un vecteur dans un espace vectoriel nommé espace de Hilbert (premier postulat de la mécanique quantique).

     

    Comme tout vecteur de tout espace vectoriel, ce vecteur admet une décomposition en une combinaison linéaire de vecteurs selon une base donnée. Or, il se trouve qu'en mécanique quantique, une observable donnée (comme la position, la quantité de mouvement, le spin etc..) correspond à une base donnée de l'espace de Hilbert.

    Par conséquent, si l'on s'intéresse à la position (par exemple) d'une particule, l'état de position doit être représenté comme une somme d'un nombre infini de vecteurs, chaque vecteur représentant une position précise dans l'espace. Le carré de la norme de chacun de ces vecteurs représente la probabilité de présence de la particule à une position donnée.

    En notation bra-ket la superposition d'un état quantique |\psi\rangle se note :

    |\psi\rangle = c_1 |\alpha_1\rangle + c_2 |\alpha_2\rangle + .. +  c_n |\alpha_n\rangle + ..

    ci étant le coefficient complexe de la combinaison linéaire, et |\alpha_i\rangle les vecteurs de la base choisie (qui dépend de l'observable).

    Cette combinaison linéaire est nommée état de superposition, car la particule peut être vue comme étant simultanément, avec des probabilités diverses, en plusieurs endroits. L'état de superposition s'applique de la même façon à toutes les autres observables imaginables : vitesse, spin, ... et même mort/vivant dans le cas du célèbre Chat de Schrödinger.

     

    2) Le spin et les états superposés.

    De façon générale, un objetpossède un spin s\, s'il est invariant sous une rotation d'angle \frac{2\pi}{s}\,Une étoile à cinq branches possède un spin 5 car il est suffisant de lui faire faire une rotation de \frac{2\pi}{5}\,

    Le spin est une propriété des particules qui ne peut être décrite qu'en physique quantique.  Intuitivement, on peut se représenter une particule comme une boule tournant sur elle-même. Le spin serait alors l'équivalent de son moment cinétique de rotation propre. 

    spin de l'électron

    Cette notion a été historiquement proposée pour les électrons par Uhlenbeck et Goudsmit en 1925 pour rendre compte des spectres atomiques, notamment le dédoublement des raies spectrales du sodium. Elle s'est appliquée ensuite à toute particule quantique (proton, neutron, noyau, photon, ...). Très vite après son introduction, Pauli développa l'idée de spin en lui donnant une formulation algébrique. Il essaya surtout de se dégager de la représentation initiale qui en était faite, et qui perdure encore quand il s'agit de l'expliquer "qualitativement". En effet le spin est couramment présenté comme le moment cinétique propre d'un objet tournant sur lui-même comme les planètes ou les balles de tennis. Cette interprétation est très insuffisante pour expliquer nombre de phénomènes. Le spin est en fait une grandeur dont le sens n'apparaît clairement et naturellement que lorsqu'on se place dans le cadre de la mécanique quantique relativiste (Dirac en 1928, Wigner en 1939). Ceci implique que le spin est un "objet" purement quantique dont la compréhension physique reste, encore à l'heure actuelle, à compléter. Malgré cela, la réalité du spin est prouvée et il est surprenant que les règles le concernant soient relativement simples. En particulier, le spin est quantifié, c'est à dire, puisque c'est un vecteur, que ses projections sur un axe ne peuvent prendre que des valeurs particulières, entières ou demi-entières. Une particule de spin demi-entier est un fermion, une particule de spin entier est un boson

    C'est un peu comme une boule qui ne pourrait tourner sur elle-même qu'à des vitesses multiples de de 1 tour par seconde (1/2 tour/s pour les fermions). Elle pourrait ainsi tourner à 0,1,2 ou 10 tours/s mais pas à 2,3 tours/s. La projection sur un axe du spin d'un boson de spin entier ne peut prendre que les valeurs n,n-1,...0,-1,-2...-n et (n/2 pour des fermions). Il s'exprime en unités n = h/2π, h étant la constante de Planck


    La mesure de la projection sur un axe du spin d'un électron se fait au moyen d'un appareil de Stern et Gerlach (voir image en illustration du chapitre 1).

     On fait passer l'électron dans un champ magnétique orienté selon l'axe voulu. Celui-ci est dévié vers le haut ou vers le bas selon que son spin est +1/2 ou -1/2. On observe son impact sur l'écran pour connaître la valeur de son spin selon l'axe considéré. Notons |+>z et |->z les états où la projection du spin suivant Oz est égal à +1/2 et -1/2. L'état de combinaison linéaire 1/2 [+>z + |->z ] est un état possible (combinaison linéaire). Cependant, il ne correspond à aucune valeur définie de la projection su spin suivant Oz. La théorie prédit que le résultat sera tantôt 1/2, tantôt -1/2, avec une répartition égale entre les deux valeurs. Plus généralement, une mesure du spin suivant Oz d'un électron dans l'état [Cosα |+>z + Sinα |->z  ] donnera +1/2 avec une probabilité Cos²α et -1/2 avec la probabilité  Sin²α.  Cela signifie que si on considère un ensemble de N électrons, dans l'état en question et qu'on effectue une mesure de spin suivant Oz, on obtiendra en moyenne, NCos²α électrons dont le spin suivant Oz est 1/2 et NSin²αdont le spin suivant Oz est -1/2. 


    La conclusion est que dans un tel état superposé, la projection du spin suivant Oz ne possède aucune valeur définie. On peut être tenté de de dire que la superposition ne serait que l'expression formelle du mélange de plusieurs états différents, mais dont chacun correspondrait à une valeur bien définie du spin. C'est inexact.

     Considérons, d'un côté, un ensemble E de N électrons dans un état superposé, et de l'autre, un ensemble E' de N électrons dont un proportion Cos²α est dans l'état |+>z et une proportion Sin²α est dans l'état |->z. Si la superposition n'est qu'une manière formelle d'exprimer un mélange, les deux ensembles doivent être identiques et toutes les prédictions qu'on peut faire sur les deux ensembles doit coïncider. C'est bien le cas sur les mesures qui donnent 1/2 avec une proportion Cos²α et 1/2 avec une proportion  Sin²α   pour les 2 ensembles. En revanche, les prédictions concernant un autre axe, par exemple Ox, seront différentes. Une mesure suivant Ox sur l'ensemble E donnera comme résultat 1/2(Cosα Sinα)² et -1/2(Cosα - Sinα)². Alors que la même mesure sur l'ensemble E' donnera 1/2 et -1/2 à égalité. 

    On peut montrer, de manière générale, qu'il est impossible de construire un mélange statistique d'électrons dont chacun est dans un état de spin défini suivant Oz et tel que les prédictions soient identiques pour ce mélange statistique et pour l'ensemble d'électrons dans l'état superposé correspondant. Il est donc impossible d'interpréter un ensemble de N électrons dans l'état superposé  [Cosα |+>z + Sinα |->z  ] comme un mélange d'électrons  dont une partie serait dans l'état |+>z (et aurait un spin +1/2), et une partie dans l'état |->z (spin -1/2). Il en résulte que le spin suivant Oz d'un électron dans l'état superposé  [Cosα |+>z + Sinα |->z  ] ne peut être considéré comme possédant une valeur définie. 


    L'étrangeté de ce constat augmente encore si on raisonne sur la position de l'électron. Si |x> l'état d'un électron occupant la position x et |x'> celui d'un électron dans la position x', |x> +|x'> est aussi un état possible (principe de superposition).  Quelle position occupe un électron dans un tel état? La mécanique quantique répond: une fois sur 2 en x et une fois sur deux en x'. L'électron dans cet état n'occupe aucune position définie dans l'espace. Considérer qu'il est à la fois dans les 2 endroits ou qu'il est un peu dans chaque position n'a pas grand sens. On préfère considérer qu'un tel état quantique ne s'interprète pas en termes macroscopiques habituels. Les objets auxquels nous sommes habitués ne se trouvent jamais dans un état comparable. Réinterprétation de l'expérience des trous d'Young. On a vu que quand on éclaire les trous, on peut voir par lequel passent les électrons. Notons |1> l'état de l'électron qui correspond au passage de l'électron par le premier trou et |2> celui qui correspond au passage par le deuxième trou. |1> + |2> est un état possible de l'électron. Par quel trou est passé l'électron qui est dans ce état? Il est impossible d'interpréter l'état superposé comme correspondant à un électron qui est passé par un des trous. Cette indétermination est valable pour toutes les propriétés physiques du système. 


    3) Le principe de réduction du paquet d'ondes. La mesure quantique.

    En mécanique classique, on suppose qu'il est toujours possible de mesurer la valeur d'une propriété sans perturber le système. Un mesure ne fait que constater la valeur et n'a aucune influence sur l'état du système. En mécanique quantique, il en va différemment. 

    Le processus de mesure est régi par le principe de réduction du paquet d'ondes (ainsi appelé en référence à la fonction d'onde du système). Il énonce quelles sont les valeurs qu'il est possible de trouver quand on mesure une propriété sur un système dans un état donné et quel sera l'état du système après la mesure, en fonction du résultat trouvé. De plus, en mécanique classique, les grandeurs observables sont des nombres ou des vecteurs (listes de nombres). Le formalisme quantique associe à chaque grandeur physique observable d'un système (position, impulsion, spin, énergie...) un opérateur appelé justement "une observable". Un opérateur est une fonction de l'espace des états dans lui-même qui fait correspondre à chaque vecteur d'état un autre vecteur d'état  |\psi \rangleOn appelle vecteur propre d'un opérateur un vecteur tel que l'action de l'opérateur a pour effet de la multiplier par une constante. Si P est un opérateur et |\psi \rangle un vecteur d'état, |\psi \rangle sera un vecteur propre (ou "état propre"), Si |\psi \rangle = λ |\psi \rangle. La constante λ est appelée "valeur propre" associée au vecteur propre |\psi \rangle. Un opérateur a en général plusieurs valeurs propres. 

    Le principe de réduction du paquet d'ondes stipule que:

    a) Mesure d'une observable A: les seuls résultats qu'on peut trouver sont les valeurs propres de A.

    b) Si on trouve la valeur propre a comme résultat de la mesure, le système se trouvera après le mesure dans l'état propre de A correspondant à la valeur propre a. 

    c) La probabilité de trouver la valeur propre a comme résultat de la mesure = carré d'un nombre qui s'obtient à partir de l'état initial et des états propres de l'observable A.

    Commentaires:

    a) Pour le spin, seules les valeurs +1/2 et -1/2 (valeurs propres de l'observable associée au spin de l'électron suivant une axe) sont possibles. Dans le cas où on mesure l'énergie d'un système et où l'observable associée le "hamiltonien",  a des valeurs propres discrètes, le système ne pourra posséder que certaines énergies bien définies, c'est l'origine de la quantification de l'énergie. 

    c) Dans le cas le plus général où l'observable possède plusieurs valeurs propres distinctes, il n'est pas possible de prévoir avec certitude le résultat de la mesure. La mécanique quantique ne fournit que la probabilité de tel ou tel résultat, la prédiction est non déterministe, de nature probabiliste.


    4) Les observables incompatibles.


    En général, appliquer à un vecteur d'état l'opérateur A, suivi de l'opérateur B n'est pas équivalent à lui appliquer d'abord B, puis A. cela signifie que qu'en général AB n'est pas égal à BA (AB  BA). Lorsque AB = BA, on dit que les opérateurs commutent. Or, le formalisme quantique implique qu'il n'est pas possible de connaître simultanément la valeur de deux grandeurs physiques d'un système lorsque les observables associées ne commutent pas. En effet, il n'est possible de connaître la valeur d'une grandeur physique qu'en la mesurant. Considérons alors le système dans un état  |\psi\rangleOn peut commencer par mesurer A. Le principe de réduction dit que le résultat peut être une des valeurs propres associées à A. Mais li on a obtenu a comme résultat, l'état du système ne sera plus  |\psi\rangle mais deviendra l'état propre associé à a. Si on mesure maintenant B, on peut obtenir comme résultat l'une quelconque des valeurs propres associées de B. Supposons que nous ayons obtenu b. Le système se retrouve alors, après les deux mesures faites dans cet ordre, dans l'état propre associé à b.


     On pourrait penser qu'on connaît  simultanément la valeur de A et celle de B: a et b. Pour s'en assurer, il devrait suffire de refaire une mesure de A. On remarque d'abord que le résultat de la mesure ne peut donner que l'une des valeurs propres de l'observable mesurée et que la probabilité d'obtenir une valeur propre dépend de l'état initial et des états propres de l'observable. On n'est donc assuré d'obtenir comme résultat un valeur propre donnée que si l'état initial dans lequel se trouve le système est l'état propre correspondant à cette valeur. Si on effectue 2 fois de suite une mesure de l'observable A, on obtiendra bien deux fois la même valeur puisque le système sera projeté dans l'état propre correspondant et cette deuxième mesure ne pourra que donner le même résultat, ce qui permet d'ailleurs de donner un sens au fait qu'on a mesuré A. Dans le cas où on a fait la mesure de B en second, une nouvelle mesure de B donnera bien le résultat b. Mais si dans ce cas on fait une nouvelle mesure de A, (et si les observables ne commutent pas), l'état propre de B associé à la valeur b dans lequel se trouve le système après la mesure ayant donné cette valeur b est tel que la probabilité d'obtenir une valeur de A différente de a n'est pas nulle (car cet état propre de B n'est pas un état propre de A). Il n'est donc pas légitime d'affirmer que A possède la valeur A, la mesure de B ayant perturbé le système. Il est impossible d'affirmer que A possède une valeur définie. 

     


    Résultats: Etat propre avant  la mesure           Mesure     Résultat      Etat propre après la mesure

                       

    1                |ψ >                                      A              a                 |a>    [A vaut a]

     

    2               |a>  [A vaut a]                       A              a               |a>   [A vaut toujours a]

    3               |a>  [A vaut a]                       B              b                 |b>    [B vaut b]

    4               |b>  [B vaut b, A ne vaut plus a]  A             a'a              |a'>   [A vaut a']

    On a un résultat similaire au spin. Dans le cas du spin, le fait que la valeur du spin suivant Oz n'est pas définie quand l'électron est dans l'état superposé n'est que la manifestation du fait que dans cet état, l'électron a un spin bien défini suivant l'axe Oi et qu'il est impossible qu'il ait 

    simultanément une valeur définie suivant Oz puisque les observables associées au spin suivant Oz et suivant Oi ne commutent pas. Il en est de même pour les observables position et vitesse d'une particule. 


    5) L'équation de Schrödinger.


    Le principe de réduction du paquet d'ondes dit comment évolue évolue l'état d'un système lorsqu'on effectue une mesure sur ce système. Mais l'état d'un système évolue en fonction du temps, même lorsqu'aucune mesure n'est effectuée sur lui. Cette loi d'évolution est une équation différentielle, "l'équation de Schrödinger" qui s'écrit en notation moderne (définition wikipedia)

    L'état à l'instant t d'un système est décrit par un élément \left| \Psi (t)\right\rangle de l'espace complexe de Hilbert (avec la notation bra-ket de Paul Dirac\left| \Psi (t)\right\rangle représente les densités probabilités de résultats de toutes les mesures possibles d'un système.

     

    L'évolution temporelle de \left| \Psi (t)\right\rangle est décrite par l'équation de Schrödinger :

     

     

     

     

    \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m}\left| \Psi (t)\right\rangle + V(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t)\left| \Psi (t) \right\rangle=i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle

     

     

     

    Contrairement aux équations de Maxwell gérant l'évolution des ondes électromagnétiques, l'équation de Schrödinger est non relativiste. Cette équation est un postulat. Elle a été supposée correcte après que Davisson et Germer eurent confirmé expérimentalement l'hypothèse de Louis de Broglie.

     

    Sa résolution permet en principe de calculer l'état du système au temps t lorsque l'état initial est |Ψ>. Comme on l'a vu dans l'article sur le chaos déterministe,  l'évolution régie par une équation différentielle implique que celle-ci soit déterministe: si on connaît l'état initial, on peut prédire avec certitude l'état à un instant ultérieur.


    Dans cet article, ont été présentées les premières notions pour essayer d'appréhender le monde quantique. Dans le prochain article, nous verrons une ébauche d'analyse des implications ontologiques. Seront évoquées les théories à variables cachées et la non-séparabilité ainsi que le problème de la mesure.


     

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